Cartesio
La didattica con le calcolatrici
MATERIALI
Matematica finanziaria e Statistica
Break-even point con la TI-92 
Il programma di Matematica Applicata del triennio degli Istituti Tecnici Commerciali prevede che si affrontino problemi di scelta, di ottimizzazione, dando alla Matematica un ruolo sempre più importante a causa della potenza dei metodi d'analisi e dei suoi modelli.
Vi sono questioni che vengono affrontate nello svolgimento sia del programma di Economia Aziendale che di Matematica ma spesso con angolazioni diverse. Gli spazi dell'Autonomia, la programmazione modulare, la disponibilità di calcolatrici grafiche permettono di affrontare alcuni argomenti in modo veramente efficace.
Uno di questi argomenti è quello relativo alla ricerca del break-even point, cioè della quantità di produzione per cui costi e ricavi si eguagliano e del diagramma di redditività.
In Economia Aziendale si presenta agli allievi una funzione dei ricavi e una funzione dei costi lineare, si ricerca il punto d'intersezione delle due rette (il break-even point) e si evidenziano le regioni angolari fra le due rette (area di perdita e area di profitto).
Quando si riprende la questione in Matematica Applicata, si presenta invece in genere una funzione dei costi lineare, una funzione dei ricavi quadratica, per cui tutto viene poi risolto studiando gli zeri della funzione dei guadagni, anch'essa quadratica. Inoltre ciò che si sottolinea è che lo studio della funzione quadratica dei guadagni (funzione obiettivo) permette di calcolare facilmente la quantità di produzione cui corrisponde il massimo guadagno.
L'utilizzo di una calcolatrice grafica permette di svolgere un discorso chiaro e articolato sull'argomento in questione, utilizzando funzioni dei costi e ricavi non necessariamente solo lineari o quadratiche.
Quella che segue è la presentazione in particolare dello studio di un problema con funzione dei ricavi quadratica e dei costi lineare. Il percorso che ci si propone è di:
- Calcolare il limite inferiore e superiore di produzione per non andare in perdita
- Evidenziare il diagramma di redditività
- Evidenziare la funzione obiettivo e il suo punto di massimo
Problema
Una ditta che agisce in condizioni di monopolio e che ha una capacità produttiva giornaliera massima di 1600 kg deve sostenere giornalmente una spesa fissa di L. 240.000 più L. 200 per ogni Kg di merce prodotta.
La legge della domanda è:
p = 1000 - 0,5x
(x è il numero di Kg di merce e p è il prezzo per Kg).
Quanto dovrà produrre per non andare in perdita?
E quanto dovrà produrre per ottenere il massimo profitto?
Il ricavo si ottiene moltiplicando il prezzo di vendita al Kg. Per il numero di Kg prodotti ed è quindi dato dalla funzione quadratica:
r(x) = (- 0,5x + 1000 x)x
mentre i costi totali si esprimono con la funzione lineare:
c(x) = 200 x + 240000
La funzione obiettivo si ottiene per differenza tra ricavi e costi e risulta anche essa quadratica:
g(x) = r(x) - c(x) = -0,5 x 2 + 800x - 240000
Lavoro da svolgere con la TI-92 .
Accesa la calcolatrice lo schermo dovrebbe apparire come in figura:
Parte prima
Premere F4 scegliere 1:Define
Nella riga di input comparirà il comando Define
Scrivere la funzione del ricavo come:
r(x)=(-0,5x+1000)x e premere ENTER
Ripetere il procedimento per la funzione dei costi: c(x)=200x+240000
Ripetere il procedimento per la funzione obiettivo scrivendo semplicemente:
g(x)=r(x)-c(x)
Premere F2 e scegliere 1:solve(
Sulla riga di input scrivere g(x)=0,x)
Premere ENTER
Sullo schermo saranno indicate le soluzioni
X=400 e x=1200
Bisognerà produrre almeno 400 Kg perché il ricavo sia superiore al costo. A partire da questo punto detto di indifferenza (break-even) e fino a x=1200 vi sarà profitto.
Risolviamo graficamente:
Premere Y= e poi CLEAR per cancellare funzioni eventualmente utilizzate in precedenza.
Premere ENTER
Sulla riga di input appare y1(x)=
Scrivere r(x) e premere ENTER
Spostare il cursore su y2, premere ENTER , scrivere c(x) sulla riga di input e poi premere ENTER
Premere WINDOW
Inserire i seguenti dati:
ymin=0; ymax=1600; yscal=200;
ymin=0; ymax=600000; yscl=100000; xres=1.
Premere GRAPH
Ottenuto il grafico delle due funzioni possiamo evidenziare la zona di utile.
Premere F5 . Scegliere C:Shade
Compare sullo schermo la domanda Above?
Portare il cursore sulla retta e premere ENTER
Compare sullo schermo la scritta Below? E il cursore si sposta sulla parabola. Premere ENTER .
Successivamente viene chiesto il limite inferiore per x. Indichiamo 400.
Indichiamo poi 1200 come limite superiore di x. A questo punto l'area di utile verrà tratteggiata
Parte seconda
Concentriamoci ora esclusivamente sulla funzione del profitto.
Ritornare allo schermo iniziale premendo HOME .
Per trovare il massimo profitto premere F3 e scegliere 7:fMax(
Sulla riga di input scrivere g(x),x) e premere ENTER .
Il massimo si ha per x=800.
Passiamo ora alla rappresentazione grafica.
Premere Y= , portare il cursore su y1 e premere F4 . Portare il cursore su y2 e premere F4 .
Porre y3=g(x)
Premere WINDOW
Inserire i seguenti dati:
xmin=0; xmax=1600; xscal=200;
ymin=-100000; ymax=100000; yscl=20000; xres=1
Premere GRAPH e poi TRACE
Viene evidenziato il massimo che si ottiene per x=800. In corrispondenza il guadagno è di L. 80000
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