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Esempi di curve Frattali - parte II (vai alla parte I)
5. Curva di Peano
Si riprenda il segmento AB e lo si divida ora in tre parti
e si costruiscano due quadrati CEFD e CELG di lato CE=1/3 AB, come in figura:
Il percorso ACGLEFDCEB ci dice che è possibile percorrere l'intera poligonale da A a B senza passare due volte per lo stesso tratto.
Iterando poi su ognuno dei nove segmenti la costruzione precedente si ottiene.
Le successive iterazioni danno luogo ad una figura simile alla seguente
Si presenta un quadrato a griglia e proseguendo nella iterazione del procedimento si l'impressione di arrivare ad annerire il quadrato, ciò sembra un paradosso in quanto una linea ha dimensione 1 mentre il quadrato, che è una superficie, 2. Questo è il paradosso a cui era giunto Peano nel 1890.
Nella TI-92 si ottiene dopo aver caricato la macro che crea il frattale:
dopo la prima applicazione
dopo l'applicazione della macro ad alcuni segmenti
dopo l'applicazione della macro a tutti i segmenti ottenuti dalla prima iterazione
dopo ulteriori applicazioni
Macro per Frattale di Peano
Per costruire la macro che disegna il precedente frattale bisogna dividere il segmento in tre parti e poi si esegue la costruzione per disegnare i quadrati contrapposti.
Si costruisce un segmento e poi si carica la macro:
Si seleziona successivamente l'opzione Compasso 8 con centro nei punti intermedi ottenuti dalla trisezione del segmento AB e con raggio pari ad 1/3 dello stesso.
Per gli stessi punti si tracciano successivamente le rette perpendicolari ad AB con 1
Si tracciano successivamente i segmenti CD,DF,FE,CG,GL e LE:
Quindi con 6 si costruisce la macro che ha per oggetto iniziale il segmento AB, mentre gli oggetti finali sono tutti i segmenti tracciati precedentemente più AC, CE e EB
6. Curva di Sierpinski
Si riprenda la costruzione di Peano e si tolga il segmento centrale CE e cosi si ottiene la base per la curva di Sierpinski:
dopo una iterazione:
e successivamente:
Nella TI-92 si ottiene dopo aver caricato la macro che crea il frattale:
dopo la prima applicazione
dopo l'applicazione della macro ad alcuni segmenti:
dopo l'applicazione della macro a tutti i segmenti ottenuti dalla prima iterazione
dopo ulteriori applicazioni
Macro per Frattale di Sierpinski
Per costruire la macro si utilizza la suddivisione in tre parti di un segmento e poi si esegue la costruzione per disegnare i quadrati contrapposti.
Si costruisce un segmento e poi si carica la macro che divide il segmento in tre parti:
Si seleziona successivamente l'opzione Compasso (centro nei punti intermedi ottenuti dalla trisezione del segmento AB e raggio uguale 1/3AB) e per gli stessi punti si tracciano le rette perpendicolari ad AB, poi si nasconde successivamente il segmento centrale ottenuto dalla trisezione con 1:
Si tracciano successivamente i segmenti CD,DF,FE,CG,GL e LE poi si costruisce la macro, con oggetto iniziale il segmento AB, che appena individuato va nascosto, ed oggetti finali i segmenti prima tracciati, oltre ad AC ed EB:
7. Curva di Von Kock
Un frattale tra i più conosciuti è la curva di Elge von Koch. Tale curva è una curva continua. Considerato di nuovo il segmento AB lo si divide in tre parti e poi si toglie il seg-mento centrale CE, sulla parte vuota infine si costruisce sempre da una stessa parte un triangolo equilatero CDE privo del lato CE.
Si ripete la costruzione precedente su ognuno dei segmenti AC, CD, DE ed EB
Proseguendo l'iterazione della costruzione si ottiene
dopo ulteriori passaggi:
Iterando infinite volte la poligonale essa si avvicinerà ad una curva, in quanto ad ogni applicazione della costruzione si sostituisce a 3 segmenti uguali 4 segmenti.
Nella TI-92 si ottiene dopo aver caricato la macro che crea il frattale:
dopo la prima applicazione
dopo la terza applicazione
dopo la quarta applicazione:
dopo ulteriori applicazioni
Macro per Frattale di Von Kock
Per costruire la macro si utilizza al solito la suddivisione in tre parti di un segmento e poi si esegue la costruzione per disegnare i due lati del triangolo equilatero
Si costruisce un segmento che va diviso in tre parti e utilizzando l'opzione Compasso con centro in C ed E rispettivamente e raggio uguale a CE (1/3 di AB) si tracciano nell'ordine i lati del triangolo equilatero: CD e DE
Poi si passa alla definizione della macro che ha per oggetto iniziale il segmento AB, che va successivamente nascosto assieme al segmento CE con 1, mentre gli oggetti finali sono nell'ordine i segmenti AC,CD DE e EB
8. Fiocco di neve
Anche la stilizzazione del fiocco di neve avviene usando una costruzione simile a quella precedente partendo da un triangolo equilatero ABC e costruendo poi il triangolo che ha il lato 1/3 del lato del triangolo precedente verso l'esterno. La prima iterazione porta a:
poi proseguendo nelle iterazioni si ottiene la figura seguente che è la rappresentazione di un fiocco di neve:
Nella TI-92 si ottiene dopo aver caricato le macro che creano il frattale:
dopo la prima applicazione
dopo l'applicazione della macro di Von Kock ai tre lati del triangolo precedentemente ottenuto
Dopo l'applicazione a tutti i lati della figura precedente:
Dopo ulteriori applicazioni:
Macro per Frattale Fiocco di Neve
Per costruire la macro che genera il triangolo base per generare il fiocco di neve si costruisce un triangolo equilatero su un segmento AB applicando lo stesso procedimento usato sul segmento centrale per la curva di Von Kock:
in questo caso il segmento è l'oggettto iniziale e non va nascosto.
Poi dopo la definizione della macro precedente, sui lati del triangolo ottenuto si utilizza la macro della curva di Von Kock:
9. Fiocco di Neve 2
Se invece la costruzione eseguita per il fiocco di neve viene applicata sulla parte interna del triangolo equilatero, dopo una iterazione si ottiene
dopo diverse iterazioni si giunge alla figura seguente
Nella TI-92 si ottiene dopo aver caricato le macro che creano il frattale:
dopo l'applicazione della macro di Von Kock sui lati del triangolo precedentemente ottenuto:
ad uno dei rombi ottenuti:
a due dei rombi
a tutti i rombi:
Macro per Frattale Fiocco di Neve 2
Per costruire la macro che genera il triangolo base per generare il fiocco di neve si costruisce un triangolo equilatero su un segmento AB applicando lo stesso procedimento usato sul segmento centrale per la curva di Von Kock, con l'attenzione di costruire i segmenti nell'ordine BC e CA in questo caso il segmento è l'oggettto iniziale e non va nascosto. Poi dopo la definizione della macro sui lati del triangolo si utilizza quella della curva di Von Kock
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