Esempi di curve Frattali - parte I / Matematica / Argomenti / Cartesio

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Unità didattiche

Esempi di curve Frattali - parte I (vai alla parte II)

di Enrico Lamanna

0. Introduzione

Il tema che segue, diviso in due parti, consente di riflettere su degli aspetti interessanti circa alcuni semplici frattali (curve in genere continue che si presentano con un aspetto frastagliato ed inoltre oggetti geometrici invarianti per trasformazioni che possano produrre complessità di forme). Ad essi ci si può avvicinare con un approccio elementare attraverso l'iterazione di una procedura costituita da semplici passaggi.
In altri ambiti si potrà fare una trattazione teorica più completa ed approfondita e, sebbene non sia agevole con Cabri Géomètre costruire una generica curva frattale, è però interessante per l'alunno che utilizza la TI-92 Plus o la TI89 disegnare figure, definire procedure che potrà iterare a suo piacimento e passare in seguito ad inventarne di proprie. È possibile inoltre trarre spunti interessanti:

argomento attuale,
introduzione teorica divertente e ed elementare (vedi E. Castelnuovo "Pentole, ombre, formiche" ed. La Nuova Italia - FI),
insolito esempio di riduzione di un problema complesso con scomposizione in sottoproblemi (Top-down),
applicazione di un procedimento iterativo,
potenzialità del software sfruttate in modo adeguato.

È richiesta la conoscenza:

teorema di Talete,
costruzione geometrica triangolo equilatero,
comandi e macro di Cabri
concetto di iterazione.

Attività da proporre ad alunni che abbiano la conoscenza della TI-92 o la TI89, soprattutto del software Cabri nel secondo e terzo anno di una scuola media superiore.
È possibile utilizzare il testo Brambilla - Facciotto - Lamanna. "Moduli operativi per Cabri Géomètre" ed. Paravia -TO per avere ulteriori informazioni sui comandi, sulle macro di Cabri e vedere una scheda di lavoro sui frattali.

1. I frattali o l'armonia della complessità

In un mondo astratto, matematicamente artificiale, è facile riconoscere immagini familiari: una felce, un fiocco di neve, una nuvola, una montagna, che ricordano molto da vicino un libro di biologia, il libro della natura, che "é scritto in lingua matematica e i caratteri sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche" (Galileo), ma a volte la natura sembra ben lontana dalle "pulite" forme euclidee e presenta "un enorme livello di complessità... e di irregolarità.... Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste di un'isola non sono circonferenze" (Mandelbrot) e questo spinge a studiare queste forme che Euclide lasciò da parte come amorfe.
Mandelbrot sviluppa una nuova geometria della natura studiando questi oggetti irregolari coniando per essi il termine Frattali dal latino Fractus, frangere, rompere: "creare frammenti irregolari". Esiste anche in questo ambiente così "complesso" la possibilità di una descrizione matematicamente semplice, numerica o geometrica? Esiste qualche unità elementare che attraverso semplici regole di composizione possa esprimere la complessità?
Certo i numeri utili non possono più essere solo i numeri naturali, perché i frattali sono curve descrivibili algebricamente attraverso i numeri complessi, né potremo servirci del naturale concetto di dimensione se parliamo degli oggetti geometrici fondamentali, punti, linee e superfici.
Il punto di novità essenziale consiste nell'accettare che abbiano significato dimensioni che non siano rappresentate dai numeri naturali 0,1,2,3 : gli oggetti frattali hanno una dimensione che é una Frazione, un numero che sta tra 0, la dimensione del punto, e 1, la dimensione della linea, o anche tra 1 e 2, la dimensione di una superficie, o ancora tra 2 e 3 (qualcosa più di una superficie e qualcosa meno di un corpo). Significa accettare ad esempio che una curva (a dimensione 1), la Curva di Peano o la Curva di Sierpinski, abbia la strana proprietà di passare per tutti i punti di un quadrato, riempiendolo tutto. Dunque la sua dimensione é quella di una superficie, cioè 2.
Disegnare curve frattali è impresa di notevole complessità, ma il procedimento è semplice e consiste nella iterazione (ripetizione) di una procedura geometricamente elementare per infinite volte.
Al contrario immaginando dì fare delle zoomate in un'immagine frattale rimarremmo stupiti dalla caoticità di ciò che vedremmo, ma potremo osservare come ogni porzione sia formata da una struttura che assomigli alla figura intera, quasi che una piccola parte possa contenere in sé l'informazione del tutto.

2. Macro fondamentali

Vengono di seguito descritte le operazioni per costruire e memorizzare le due macro fondamentali per ottenere alcuni frattali. Per meglio lavorare con la TI-92 è consigliabile creare una nuova cartella (Folder) che potrà essere nominata "Frattali".
Accedere successivamente all'applicazione "Geometry":

B frattali	8

si digita il nome del file su cui lavorare

primacro	appare:

Trisezione di un segmento AB

Questa macro è utile in quanto ci permette di dividere un segmento in tre parti u-guali ed è possibile generalizzarla per costruire una qualsiasi suddivisione del segmento in "n" parti uguali.
Si costruisce il segmento AB ed una retta passante per A e non per B, successiva-mente si individuano sulla stessa tre segmenti congruenti AP, PQ, e QR, dopo aver fissa-to ad arbitrio il punto P.
Si traccia la retta passante per R e B e quindi le parallele ad essa passanti per P e Q, i punti C e D, intersezioni di queste rette con il segmento AB definiscono i tre seg-menti in cui viene diviso AB: AC, CD e DB.

Per disegnare il segmento AB e la retta per A:

5 A ... B
riportarsi su A con il cursore per disegnare la retta:
4
spostando il cursore verso l'alto si ottiene una retta non passante per AB

portarsi con il cursore in un punto qualunque della retta:
2 P

determinare Q ed R con la simmetria centrale, spostarsi su A:
5
spostarsi su P
Q
spostarsi su Q:
R

per disegnare le rette RB e le sue parallele QD e PC: portarsi su R:
4 e quindi con il cursore andare su B:
,
poi andare su Q
2
e poi sulla retta BR:

ripetere il procedimento per il punto P.
Per disegnare i segmenti AC,CD e DB:
portarsi su A
5, spostarsi sul punto di intersezione con la retta passante per P:
C e cosi appare il segmento AC, poi
spostarsi sul punto di intersezione con la retta passante per Q:
D e si ottiene il segmento CD e quindi
e spostarsi infine su B:
per ottenere il segmento DB

Ora bisogna costruire la macro, individuando l'oggetto iniziale nel segmento AB e gli oggetti finali nei segmenti AC, CD e DB.
6 2
portarsi sul segmento AB alla richiesta "Quale oggetto?" poi confermare il primo segmento evidenziato con
6 3 e portando il cursore di volta in volta vicino ai segmenti AC, CD e DB alla richiesta "Quale oggetto?" 2:
6 4 scrivere il nome della macro(con esso apparirà successivamente quando viene richiamata) e il nome dell'oggetto
indicare il nome del file in cui viene salvata (per attivarla in un secondo tempo si dovrà aprire con 1 2 "frattali" "nome del file")

Suddivisone di un segmento AB in cinque parti

La costruzione è analoga a quella precedente, sulla retta per A vanno individuati 5 punti.

3. Polvere di Cantor

La polvere di Cantor è un frattale di origini relativamente antiche e la cui costruzione è molto semplice. Nella sua versione base, occorre semplicemente prendere un segmen-to, eliminarne il terzo centrale e reiterare la procedura su ciascuno dei due segmenti ot-tenuti. Il risultato sarà una serie di segmenti sempre più piccoli che finiscono per diven-tare puntini (simili, appunto, a granelli di polvere).

Dopo aver eliminato il terzo centrale si ha

Dopo l'applicazione della macro ai due terzi rimanenti del segmento

Dopo ulteriori applicazioni

Dopo altre iterazioni

Si giunge alla "polvere"

Nella TI-92 si ottiene dopo aver caricato la macro che crea il frattale:
dopo la prima applicazione:

dopo l'applicazione alle due parti del segmento rimaste

dopo ulteriori applicazioni

si hanno praticamente solo dei punti:

Macro per il Frattale di Cantor

Per costruire la macro che rappresenti il precedente frattale si utilizza prima la suddivi-sione in tre parti di un segmento e poi si nasconde il segmento centrale
Per prima si carica la macro che divide in 3 parti un segmento:

1 2 ... fino a trovare il file cercato poi

per confermare,
per tracciare il segmento AB e dividerlo in 3 parti:
5 A, spostarsi con il cursore B, 6 1
Successivamente portarsi sul segmento e con 1 mostrare di nuovo il segmento AB che con la macro precedente viene nascosto
Si costruisce ora la macro indicando nel segmento AB l'oggetto iniziale:
6 2 portando il cursore vicino al segmento rispondere alla domanda "Quale oggetto?" :

e immediatamente dopo portarsi sulla parte centrale di AB e nascondere lo stesso segmento AB e la stessa parte centrale con 1:
"Quale oggetto ?"
"Quale oggetto ?"

poi definire gli oggetti finali:
6 3 indicare le due parti esterni del segmento

poi completare la definizione della macro con 6 4

4. Greca

La prima costruzione che si esamina è un fregio che va sotto il nome di greca. Preso un segmento AB

lo si divide in cinque parti e poi si tolgono i due segmenti corrispondenti ai numeri pari CD e EF.

Sulla ognuna delle parti vuote infine si costruisce sempre da una stessa parte un quadrato CDLM privo ovviamente del lato CD o analogamente il quadrato EFPM privo di EF.

dopo ulteriori iterazioni:

Iterando infinite volte la poligonale essa si avvicinerà ad una curva, in quanto ad ogni applicazione della costruzione si sostituisce a 5 segmenti uguali 9 segmenti.
Nella TI-92 si ottiene dopo aver caricato la macro che crea il frattale:

dopo una sola applicazione

dopo diverse applicazioni della macro

dopo aver applicato la macro a tutti i segmenti ottenuti dalla prima iterazione

Macro per il Fregio greco

Per costruire la macro che rappresenti il precedente frattale si utilizza prima la suddivi-sione in cinque parti di un segmento e poi si esegue la costruzione per disegnare i qua-drati senza un lato sui segmenti pari.
Per prima si carica la macro che divide in 5 parti un segmento:

1 2... fino a trovare il file cercato poi

per confermare, per tracciare il segmento AB e dividerlo in 5 parti:
5 A, spostarsi con il cursore B, 6 1
Per costruire i lati del quadrato utilizzare l'opzione Compasso:
8 (indicando come centro di volta in volta i punti ottenuti dalla suddivisione del segmento e come raggio la lunghezza di uno dei segmenti uguali ad 1/5 di AB)
successivamente tracciare per gli stessi punti le rette perpendicolari al segmento AB:
1

Poi tracciare i segmenti CL, LM, MD, EN, NP, PF:
5

Definire quindi gli oggetti iniziali della macro:
6 2 e indicare il segmento AB
nascondere gli oggetti:
1 AB, CD e EF

poi definire gli oggetti finali della macro:
6 3 i segmenti AC, CL, LM, MD, DE, EN, NP, PF e FB.

quindi definire la macro in maniera analoga a quanto precedentemente indicato.