Cartesio

La didattica con le calcolatrici

Analisi Matematica

Unità didattiche

Integrali indefiniti, definiti, calcolo di aree di regioni di piano

di Sebastiano Cappuccio e Carla Nannucci

Nota per l`insegnante

Questa unità didattica è stata svolta in circa tre ore in una classe 5 ° di un Istituto Tecnico (due sole ore di Matematica alla settimana).
Gli allievi di questa classe erano già in possesso delle necessarie conoscenze teoriche sul concetto di integrale e avevano utilizzato le calcolatrici solo in altre due occasioni e prevalentemente l'ambiente di grafica. In ambiente Home avevano utilizzato in qualche occasione alcune voci del menu F2 (Algebra), in particolare il comando Solve per risolvere equazioni.
Scopo di questa unità didattica è rendere gli allievi consapevoli della definizione di integrale definito e indefinito, consolidare il concetto di integrale e raggiungere una sufficiente operatività, superando le difficoltà di calcolo per concentrare l'attenzione sul tipo di risultato ottenuto; infine gli alunni dovranno essere capaci di spiegare attraverso le proprie conoscenze i risultati ottenuti con la calcolatrice.

Prerequisiti

• conoscenza della definizione di integrale indefinito
• conoscenza dei teoremi sugli integrali
• abilità nel calcolo di integrali indefiniti immediati o facilmente riconducibili ad essi
• integrazione di funzioni razionali fratte
• calcolo di integrali definiti

• teorema della media, teorema di Torricelli Barrow.

Obiettivi

Imparare ad utilizzare in modo consapevole una calcolatrice grafica e simbolica per il calcolo di integrale indefiniti e definiti e la risoluzione di problemi ad essi collegati.

Le attività da eseguire con la calcolatrice sono racchiuse in riquadri; nella prima colonna sono indicati i tasti da premere, nella seconda colonna vi sono le relative spiegazioni e gli eventuali commenti; spesso sono riportate anche le corrispondenti immagini dello schermo.
A fianco di alcune attività vi sono delle Note per approfondire il lavoro svolto e guidare la ricerca-scoperta, o per introdurre la necessità di un eventuale ulteriore esercizio di chiarimento.

Accensione della macchina e cancellazione delle variabili
	La TI-92 viene accesa e ci si trova nell'ambiente di calcolo, denominato [HOME]. Sullo schermo potrebbere essere già presenti calcoli eseguiti in una precedente sessione di lavoro.
8	Cancella tutte i calcoli contenuti nell'ambiente [HOME].
	Questa operazione cancella il contenuto di tutte le variabili di un solo carattere che sono contenute in memoria

Per prima cosa verifichiamo le possibilità della macchina relativamente al calcolo degli integrali indefiniti, e impariamo a leggere e interpretare i risultati.

Integrali indefiniti
2 x^2,x)	Calcoliamo ; è indispensabile indicare la variabile di integrazione x scrivendola dopo la virgola.
2 K* sin(x),x)	Calcoliamo, dove k è una costante rispetto alla variabile di integrazione. La calcolatrice restituisce k * cos(x). Nota: occorre inserire il segno di moltiplicazione tra il fattore k e la funzione sin x : se questo viene omesso, la calcolatrice non calcola l'integrale perché interpreta ksin ( x) come una nuova funzione che ancora non è stata definita.

Si noti che non compare la costante additiva c, usuale per indicare l'insieme delle primitive: la TI-92 non fornisce l'insieme delle primitive ma solo una di esse.

Verifica di una proprietà degli integrali
2 28 (3x-1),x) 28 2 1 (3x-1),x)	Vogliamo calcolare i due seguenti integrali: Il risultato di entrambi gli integrali è lo stesso.

Un esempio sulle primitive di una funzione
1 x (x+1),x)	Viene così calcolata la derivata della funzione.
2 ,x)	Viene calcolato ora l'integrale indefinito del precedente risultato: è logico aspettarsi la stessa funzione di partenza.

Può sorprendere il fatto che non si ottiene esattamente la funzione di partenza, malgrado le operazioni di derivazione e di integrazione siano, per così dire, "l'una l'inversa dell'altra".
Una spiegazione di questo fatto si ottiene tracciando il grafico delle due funzioni.

2	Entriamo nell'ambiente Y=Editor.
1	Disattiviamo tutte le funzioni eventualmente presenti con il comando All Off.
...	Se necessario posizioniamo il cursore nella prima funzione vuota, premiamo per accedere alla linea di editing
x (x+1) 1 (x+1)	e digitiamo le due funzioni.
4	Appare evidente che i due grafici sono sovrapponibili con una traslazione verticale; in altre parole le due funzioni differiscono tra loro per una costante. Se infatti si esegue la differenza tra le due funzioni (a mano o nell'ambiente Home) si ottiene 1.

Altri esempi di integrazione indefinita di funzioni razionali fratte
1	Si torna all'ambiente di calcolo Home.
2 (2x-1) (x 2 -5x +6),x)	Vogliamo calcolare il seguente integrale:
2 (x 2 + 3x + 2) (3x -1),x)	Calcoliamo il seguente integrale:

Come verifichi se i risultati dei due esempi precedenti sono coerenti con quanto applicato nel calcolo manuale?

Scomporre una frazione in fratti semplici
3	Viene attivato nel menu di Algebra il comando expand.
(2x-1) (x 2-5x+6))	Con si ottiene la frazione scomposta in fratti semplici da cui è immediato risalire al risultato dell'integrale

Divisione tra due polinomi
7 (x 2 +3x +2) (3x -1) )	Viene attivato dal menu di algebra il comando propFrac che trasforma la frazione (numerica o algebrica) dell'argomento nella somma di una frazione propria e di un polinomio, secondo la ben nota formula, ove a è il dividendo, b il divisore, q il quoziente e r il resto.

Un altro esempio di calcolo di un integrale indefinito
Calcolare.
2 1/(x x 2-4),x)	Il simbolo si ottiene premendo in successione i tasti. Il risultato viene immediatamente fornito.

Il libro di testo suggerisce di calcolare l'integrale con il metodo di sostituzione e di sostituire alla variabile x, l'espressione e fornisce come risultato che apparentemente differisce dal risultato della TI-92.
Verifichiamo che si tratta di risultati equivalenti.

1 [TAN ] ( x 2-4) 2) 2,x)

Derivando il risultato del libro e quello della TI-92 si ottiene la stessa funzione integranda.

E' possibile verificare l'equivalenza dei due risultati anche graficamente in modo analogo a quanto fatto in un precedente esempio.

2	Si passa all'ambiente y=editor.
1	Tutte le funzioni eventualmente presenti vengolo deselezionate.
...	Se necessario, premere il tasto di movimento cursore più volte, fino a posizionarsi sulla prima funzione "vuota". Premendo si passa alla linea di editing.
1 2 [SIN ] 2 abs (x))	La funzione inversa [SIN ] si ottiene premendo in successione i tasti e.
1/2 [TAN ] x^2 -4) /2)	La funzione inversa [TAN ] si ottiene premendo in successione i tasti e
4 7	L'opzione ZoomTrig predispone valori di scala particolarmente adatti ai grafici di funzioni trigonometriche.

Di default la TI-92 opera in modalità AUTO, come indicato nella linea di stato (l'ultima riga in basso); ciò significa che, se la calcolatrice ne è capace, esegue il calcolo indicato in modalità esatta, altrimenti passa automaticamente alla modalità approssimata.

Funzioni non integrabili elementarmente
2 x) x),x,1,2)	Vogliamo calcolare. La calcolatrice passa automaticamente alla modalità approssimata e fornisce il risultato. Ciò avviene perché la funzione proposta è una funzione non integrabile elementarmente; per dirlo in modo semplice, non è possibile trovare una sua primitiva espressa con le usuali funzioni (sin, ln ecc.).
2 x) x),x)	Se si chiede alla TI-92 di calcolare l'integrale indefinito della stessa funzione (quindi operando per forza di cose in modalità esatta) la calcolatrice si rifiuta riproponendo lo stesso integrale.

Verifica di una proprietà degli integrali definiti
3	Passiamo a modalità approssimata: si noti la scritta APPROX nella linea di stato (la linea più in basso dello schermo).
2 x 2-x-6),x,-1,1)	Calcoliamo.
2 x 2-x-6),x,1,-1)	Calcoliamo.
	Scambiando gli estremi di integrazione cambia il segno del risultato.
2	Ritorniamo a modalità esatta (si noti la scritta EXACT nella linea di stato) Passando a modalità esatta il risultato è ancora lo stesso.

Tratteggio di regioni di piano
2 1	Passiamo ora all'ambiente di grafica. Se vi sono altre funzioni digitate le disattiviamo tutte selezionando All Off.
	Passiamo alla linea di editing.
x 2 -x -6	Digitiamo la nostra funzione integranda
4 6	Passiamo all'ambiente di grafica e immediatamente dopo ci assicuriamo che lo zoom sia standard Vogliamo tratteggiare la regione di cui vogliamo calcolare l'area.
c	Selezioniamo la voce Shade del menu Math.
n	Alla domanda Above X axis? (sopra l'asse X?) digitare n per dare una risposta negativa.
1	Alla domanda Lower Bound? (= "estremo inferiore?") digitare –1 (si faccia attenzione a usare il tasto, cioè il meno unario e non il simbolo di sottrazione ).
1	Alla domanda UpperBound? (= "estremo superiore?") digitare 1.

In questo ambiente vi è un altro modo per tratteggiare la regione di cui vogliamo calcolare l'area e averne il valore?

1	Con il comando ClrDraw si cancella il disegno e si ritraccia la curva.
7	Viene selezionata la settima voce del menu Math : calcoleremo così l'integrale desiderato direttamente in ambiente di grafica.
1	Alla domanda Lower Limit? (= "estremo inferiore?") digitare –1 (anche qui fare attenzione al "meno unario").
1	Alla domanda " Upper Limit? " (estremo superiore?) digitare 1.
	Viene ridisegnata la regione di cui vogliamo calcolare l'integrale e il valore dell'integrale viene fornito in modo approssimato anche se la TI-92 è settata in modo auto o exact. Si noti che si ottiene un valore negativo: infatti la regione tratteggiata si trova tutta nel semipiano della ordinate negative.

Calcoliamo ora l'area della regione di piano compresa fra una curva, l'asse delle ascisse e due rette parallele all'asse delle ordinate.

Aree di regioni di piano
1	Vogliamo calcolare l'area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione – 4, l'asse delle ascisse e le rette x = -1 e x = 1. In questo caso, poichè la regione è tutta nel semipiano negativo delle ordinate, posso procedere in due modi:	Anche se logicamente corretto come ragionamento, la TI-92 non risolve il secondo integrale ma lo semplifica visualizzando la simmetria della funzione rispetto all'asse delle ordinate, quindi l'unico modo rimane il primo o eventualmente il valore assoluto dell'integrale con gli estremi di integrazione in ordine crescente.
2 (x 2-4,x,1,-1)	1°) invertire gli estremi di integrazione
2 abs(x 2-4),x,-1,1)	2°) calcolare l'integrale definito del valore assoluto della funzione

Vogliamo calcolare l'area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione x ( – 4), l'asse delle ascisse e le rette di equazione x = 1 e x = 3.
E' importante prima rendersi conto dell'andamento della funzione tracciandone il grafico: per calcolare l' area desiderata devo sapere in quale semipiano (positivo o negativo delle ordinate) si trova la regione richiesta.

2 x (x 2 -4)	Definiamo la funzione nell'ambiente Y=Editor.
4	Tracciamo il grafico nell'ambiente Graph.
7 1 3	Tratteggiamo l'area con l'opzione di calcolo dell'integrale, ma attenzione: il valore fornito è l'integrale definito e non l'area che è richiesta.
1 2 (x* (x 2-4) ,x,2,1) + 2 (x* (x 2-4) ,x,2,3)	Per calcolare l'area richiesta devo determinare separatamente le due aree, quella positiva e quella negativa. Dobbiamo trovare la intersezione della funzione con l'asse delle ascisse. Si potrebbe usare la funzione Solve in ambiente Home, ma in questo caso è immediato calcolare lo zero cercato x = 2. L'area cercata è la somma dei due seguenti integrali.

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