Cartesio

La didattica con le calcolatrici

Analisi Matematica

Unità didattiche

Studio di funzioni a due variabili

di Enrico Lamanna

L'esempio di seguito proposto coinvolge l'utilizzo di diversi ambienti ed è tratto da un quesito proposto alla maturità tecnica dei programmatori nel 97: "Dopo aver dato la definizione di estremi relativi di una funzione reale di due variabili reali e aver esposto il metodo per la loro ricerca, si consideri la seguente funzione: e si determinano: a)i parametri a, b, c, in modo che la funzione abbia un estremo relativo in P(2, -1, - l); b) gli estremi assoluti della funzione ottenuta, con i valori dei parametri trovati, nel triangolo di vertici: (- 0,5, - l); (2, - l); (- 0,5, 1)."

Tralasciate le parti teoriche del quesito indichiamo con Z1(x,y) la nostra funzione:
(ax^2-x*y-b*y^2+c)/(x+1) z1(x,y)

per determinare il dominio imponiamo al denominatore di risultare diverso da zero:

1 B 2 z1(x,y)) 0,x)

e sullo schermo appare x -1, cioè D={(x,y) :x -1}
Per la ricerca degli estremi relativi bisogna calcolare le derivate parziali prime e ponendole poi uguale a zero:

1 z1(x,y),x)

sulla riga di editor per calcolare la derivata parziale prima rispetto ad y

y

le due derivate parziali uguagliate a zero devono avere per soluzione il punto assegnato dal quesito e pertanto imponiamo ad ognuna di esse di risultare nulle con la condizione x=-2 ed y=-1..... : per evidenziare la derivata rispetto ad x,
nella riga di editor:
=0 x=-2 and y=-1
analogamente per quella rispetto ad y:
..... y :per cancellare x ed sostituirlo con y, poi per il calcolo e si ottiene quanto è nella schermata successiva:

Quello che risulta è un sistema lineare in b e c risolubile mediante la funzione simult che richiede che il sistema sia scritto in forma matriciale .
La funzione si trova in CATALOG e pertanto 2 s e poi scorrere con il cursore fino ad evidenziare la funzione richiesta con il triangolino poi

[1,-1;-2,0],[-1;2])

da cui si ottengono i valori di b=-1 e c=0.

Per ottenere il valore del parametro a :

siccome in P la funzione ha un estremo relativo essa vale -1 quando x=-2 ed y=-1
z1(x,y)=-1[ | ]x=-2 and y=-1

e poi risolvendo z1 rispetto ad a con l'ulteriore condizione di b=-1 e c=0 si ottiene la funzione richiesta che viene conservata in z3(x,y):
: per portarsi all'inizio della riga di editor
1 : per portarsi con il cursore dopo -1
,a)

1 : per evidenziare a=.....
,a) [|]b=-1 and c=0

Cancellare ora tutta la parte della riga di stato che precede il "with" |, quindi scrivere z1
.....z1(x,y)
per aggiungere alle condizioni a=1/2
and

successivamente per memorizzare in z3(x,y) la funzione ottenuta:

z3(x,y)

Così finora abbiamo risposto al punto a del quesito, ma prima di passare al punto b possiamo sfruttare un'altra proprietà della TI-92, i grafici tridimensionali.
....: fino ad evidenziare l'opzione 3D poi
per salvare
2
9 ed appare la finestra di dialogo per il formato dei grafici che deve essere ad esempio modificato come nella videata seguente:

4 per vedere il grafico della funzione z3:

Ora risolviamo il punto b del quesito.
Teniamo presente che la f(x,y), che è definita e continua nel triangolo dato, interno al dominio, per il teorema di Weirstrass è dotata ivi di minimo e massimo assoluto.
Per la ricerca dei massimi e minimi relativi interni all'interno del triangolo calcoliamo le derivate prime parziali di f(x,y) memorizzata ora in z3(x,y).
1 z3(x,y),x) per il calcolo della derivata rispetto a x

y per la derivata rispetto ad y
Ora andiamo a calcolare il sistema di derivate uguagliato a zero, sfruttando la conoscenza del punto del punto P e imponendo contemporaneamente l'annullamento della derivata rispetto ad y
x 1 =0,x)[ | ] =0 and x=-2 and y=-1

e ripetendo la stessa operazione risolvendo però rispetto ad y, si ottengono i valori che annullano il sistema come in figura

Solo il punto O(0,0) appartiene al triangolo, ora andiamo a stabilire la natura dei due punti calcolando l'Hessiano.
.... fino ad evidenziare la derivata parziale prima rispetto ad y
,2 per il calcolo della derivata seconda rispetto ad y
x per il calcolo della derivata seconda rispetto ad x
1 ,y) per il calcolo della derivata seconda mista

Queste derivate formano la matrice quadrata del tipo di cui si calcola il determinante :

ora nel punto O(0,0)
[CATALOG]d....fino ad evidenziare: det( [
..., fino ad evidenziare z3" xx
... ; fino ad evidenziare z3" xy
..., fino ad evidenziare z3" yx (uguale alla precedente per il teorema di Scharwz)
..., fino ad evidenziare z3" yy
]) [ | ] x=0 and y=0

in cui vale 1
ed poi nel punto P(-2,-1):
1...... 2
in cui ancora vale 1
Ora bisogna calcolare nei due punti il valore della derivata seconda z3" xx
In O
..... (fino ad evidenziare la derivata seconda z3" xx)[ | ] x=0 and y=0

in O essa vale 1 e perciò è un minimo relativo in P
1...... 2
in P vale -1 perciò è un massimo relativo con z=-1 come già noto

Per il calcolo di z in O:

Non viene riportata la ricerca del comportamento della funzione sulla frontiera del triangolo.

© 1997-2004 Cartesio On Line - Tutti i diritti riservati | XHTML 1.0 | CSS/2 | ^ Inizio pagina