Cartesio

La didattica con le calcolatrici

Analisi Matematica

Unità didattiche

Disequazioni - parte II

di Sebastiano Cappuccio

Premessa

Nella prima parte di questa unità didattica abbiamo visto cosa significa risolvere una disequazione e abbiamo visto due diverse interpretazioni delle disequazioni: come confronto tra due insiemi di valori e come confronto tra due grafici.
In questa seconda parte impareremo a risolvere disequazioni algebriche sia con metodi di calcolo simbolico, sia utilizzando il modello analitico.

Le attività da eseguire con la calcolatrice sono racchiuse in riquadri; nella prima colonna sono indicati i tasti da premere, nella seconda colonna vi sono le relative spiegazioni e gli eventuali commenti; spesso sono riportate anche le corrispondenti immagini dello schermo.

Nota per l'insegnante

In questa scheda useremo ripetutamente la capacità della TI-92 / 89 di operare con il precedente risultato per ricostruire i passaggi del calcolo manuale.
Useremo anche una interessante caratteristica della calcolatrice: una operazione riferita ad una disequazione (o equazione) ha effetto su entrambi i membri della stessa.
Per questo motivo non ci si deve scandalizzare quindi nel vedere scritture come le seguenti:

(2x < 5) /2; (x — 1 > 3) + 1.

Non si tratta di errori sintattici ma anzi, nel linguaggio algebrico della calcolatrice, significano:
“dividi entrambi i membri della disequazione per il numero 2”, “aggiungi 1 ad entrambi e membri“.

Si noti infine come l'impstazione grafica qui suggerita si presterà, a suo tempo, particolarmente alla risoluzione di disequazioni algebricamente piuttosto “difficili” per gli studenti, come le disequazioni irrazionali e quelle con il valore assoluto.

1 - Risoluzione automatica di una disequazione intera di primo grado

2/3x+3<2x+1	Portare il cursore nella linea di editing e digitare la disequazione proposta. Si noti che l'operatore di moltiplicazione tra il coefficiente e la parte letterale non è necessario. Il simbolo < si inserisce premendo in successione i tasti e 0.
1	Viene attivata la voce Solve del menu di Algebra. Il comando Solve, con una parentesi già aperta, viene inserito nella linea di editing.
[ANS]	Il tasto [ANS], ottenuto premendo in successione i tasti e, inserisce nella linea di editing l'ultimo risultato ottenuto ( answer = risposta). In questo caso si tratta della stessa disequazione prima digitata.
,x)	Il comando viene completato inserendo dopo una virgola la variabile rispetto alla quale si vuole risolvere la disequazione; poi, ovviamente, va chiusa la parentesi inserita automaticamente dopo il comando Solve.
	Il comando viene mandato in esecuzione.
	Il risultato in forma algebrica (la “semiretta” x > 3/2) appare sulla destra dello schermo. La TI-92 fornisce direttamente tale risultato, senza mostrarci i passaggi per pervenire ad esso. Ora ricostruiremo con la calcolatrice tali passaggi.

2 - Risoluzione della disequazione passo-passo

	Premere il bottone direzionale verso l'altro fino ad evidenziare la disequazione che era stata digitata.
	La disequazione viene riportata nella linea di editing.
	La disequazione viene riscritta.

Il nostro obiettivo, come per le equazioni di primo grado, è operare una successione di trasformazioni di equivalenza fino ad ottenere una disequazione che ha solo x a primo membro ed un numero a secondo membro. Ciò, in una disequazione di primo grado, è sempre possibile.

Iniziamo con il liberarci del denominatore: basterà moltiplicare membro a membro per 3, che è il minimo comune multiplo dei denominatori (in questo caso è addirittura l'unico denominatore della disequazione).

[ANS] 3	Come è noto, il tasto [ANS], ottenuto premendo in successione i tasti e, inserisce nella linea di editing l'ultimo risultato ottenuto. In questo caso si tratta della stessa disequazione prima digitata. L'operazione indicata (la moltiplicazione per 3) avrà effetto su entrambi i membri della disequazione. In pratica con questa operazione “riduciamo allo stesso denominatore membro a membro ed eliminiamo il denominatore comune”.
[ANS] -9	Sottraiamo a entrambi i membri 9; ciò equivale a “portare a secondo membro” tale termine.
[ANS] -6x	Sottraiamo a entrambi i membri 6 x ; ciò equivale a “portare a primo membro” tale termine.
[ANS] 1/4	Affinché il coefficiente di x divenga 1, è necessario moltiplicare per il suo reciproco. Si noti che non è necessario racchiuderlo tra parentesi, dato che il simbolo rappresenta il “meno unario” e non può quindi essere confuso con l'operatore di sottrazione. Si ottiene così il risultato desiderato che coincide con quello ottenuto prima in modo automatico. Si noti anche che il senso della disuguaglianza è cambiato, dato che abbiamo moltiplicato membro a membro per un numero negativo.

Alcuni esercizi:

• Definire le due funzioni: 2/3 x + 3 e 2 x + 1 e confrontare i loro valori in ambiente Table e in ambiente Graph usando le indicazioni della prima parte di questa Unità. Controllare il risultato ottenuto con quello appena calcolato algebricamente.
• Risolvere utilizzando il comando Solve e con la risoluzione passo-passo le seguenti disequazioni:

2(x + 2) > x + 1;

3/4x — 6 > x + 2/3;

3 - Disequazioni di secondo grado

2x^2-5x+3>0	Viene digitata una disequazione di secondo grado nella forma canonica ax ^2 + bx + c > 0.
1 [ANS],x)	Viene eseguita la prima voce del menu Algebra (il comando Solve) e viene inserito, premendo in successione i tasti, ans(1), vale a dire la disequazione appena digitata. La disequazione è riproposta con qualche modifica e non viene risolta automaticamente: la TI-92/ 89 non sa risolvere disequazioni di secondo grado.

Ricorriamo allora alla interpretazione analitica già vista nella prima parte di questa Unità: basterà confrontare il grafico della funzione y = 2 — 5 x + 3 (si tratta di una parabola con concavità rivolta verso l'alto, essendo positivo il coefficiente di) con il grafico della funzione y = 0, che è l'asse delle ascisse.

2	Si accede all'ambiente y=Editor.
1	Viene eseguito il primo comando ( All Off del menu All). Attraverso questo comando vengono disattivate tutte le funzioni preesistenti. Avremmo potuto anche cancellarle con il comando 8 visto nell'Attività 5 della Prima Parte, ma abbiamo preferito solo disattivarle: le funzioni resteranno presenti ma il loro grafico non sarà tracciato.
...	Premere più volte il bottone direzionale verso il basso fino a evidenziare la prima delle funzioni vuote.
	Si passa alla linea di editing.
2x^2-5x+3	La funzione viene definita.
	La funzione viene aggiunta all'elenco delle funzioni; essa è attiva, come mostra il simbolo che compare alla sua sinistra.
4	Si accede all'ambiente Graph e viene mostrato il grafico della parabola. Tale grafico appare però poco leggibile: sarà utile un cambiamento della scala.
4	Viene selezionata la voce ZoomDec del menu Zoom : il sistema diventa così monometrico, cioé viene usata la stessa unità di misura sia per le ascisse che per le ordinate.
2	Viene selezionata la voce ZoomIn del menu Zoom : l'immagine viene ingrandita di un fattore 4.
	Viene confermata la proposta (0,0) come valore di New Center? : l'origine rimarrà così al centro dello schermo.

E' ora facile, esaminando il grafico, riconoscere l'insieme delle soluzioni della disequazione: si tratta delle ascisse dei punti della parabola che si trovano sopra l'asse delle ascisse, cioé delle due semirette (si ricordi quanto detto in proposito alla fine della prima parte di questa Unità) x < a e x > b, ove a e b (in ordine crescente) sono gli zeri della funzione, cioè le ascisse dei punti in cui la parabola interseca l'asse x.

Se lo si desidera, ma non è indispensabile, si può evidenziare tale insieme ricorrendo alla definizione di una nuova funzione simile a quella vista nella Attività 10 della prima parte: when(y4(x)> 0,0,undef). Ovviamente con y4(x) intendiamo la funzione prima definita (avente per grafico la parabola); se il Lettore ha usato un altro numero, ad esempio y5, dovrà usare y5.

Si tratta ora di determinare i valori di a e di b : basterà risolvere l'equazione 2 — 5 x + 3 = 0. La cosa può essere fatta facilmente a mano, ma possiamo anche usare l'apposito comando.

4 - Risoluzione di una equazione

1	Si ritorna all'ambiente di calcolo Home e, se necessario, si posiziona il cursore nella linea di editing.
Solve(2x^2-5x +3=0,x)	Il comando Solve può essere impartito attraverso il menu F2:Algebra oppure può anche essere digitato direttamente.
	Si ottengono i due zeri della funzione. Per ordinarli è più comodo averli in forma decimale invece che frazionaria.
	Premendo in successione il tasto verde (sulla sinistra in basso, vicino al tasto di accensione) e, l'operazione indicata viene calcolata in modalità approssimata invece che esatta: gli zeri appaiono così in forma decimale.

Possiamo finalmente indicare l'insieme delle soluzioni della disequazione data: x < 1 oppure x >3/2.

Ora vogliamo risolvere la disequazione 2 - 5 x + 3 < 0.
E' inutile ripetere la azioni già svolte: il grafico della funzione y = 2 - 5 x + 3 è la stessa parabola già vista; questa volta però ci interessano le ascisse dei punti le cui ordinate si trovano sotto l'asse delle ascisse; si tratta ovviamente del segmento avente per estremi 1 e 3/2, quindi, ricordando quanto detto al termine delle prima parte: 1 < x < 3/2.

Attraverso l'interpretazione analitica della disequazione, siamo ora in grado di risolvere qualsiasi disequazione di secondo grado con il trinomio a + bx + c a primo membro e con 0 a secondo membro. Le possibili configurazioni grafiche sono sei, qui di seguito rappresentate. Esse dipendono dal segno di a (parabola con concavità verso l'alto se positivo, verso il basso se negativo) e dalla presenza o meno di zeri reali (discriminante positivo, nullo o negativo). Si noti che non ha alcuna importanza se gli zeri sono positivi o negativi; per questo motivo nelle immagini sottostanti non viengono rappresentati l'origine e l'asse delle ordinate.

Esercizio: usare la TI-92 per risolvere e rappresentare graficamente le curve:

	a > 0	a < 0
>0
<0
=0

Esercizio: scrivere in ogni casella della tabella sottostante una disequazione che abbia le caratteristiche richieste. Tracciare a mano il grafico corrispondente, poi verificarlo con la TI-92. Suggerimento: può essere necessario modificare la scala con i comandi del menu F2.

	a > 0	a < 0
>0
<0
=0

Disequazioni fratte: risoluzione algebrica

(x+2)/(x-4) > x-2	Viene digitata la disequazione incontrata nella prima parte di questa Unità.
1 [ANS],x)	Viene eseguita la prima voce del menu Algebra (il comando Solve) e viene inserito, premendo in successione i tasti, ans(1), vale a dire la disequazione appena digitata.
	La disequazione non viene risolta automaticamente: la TI-92 ripropone, con poche modifiche, la stessa disequazione. Proviamo allora a risolverla passo-passo.
	La disequazione viene riportata nella linea di editing evidenziandola con il cursore e premendo.
[ANS] (x-2)	Si moltiplica membro a membro per x - 2. Ancora una volta la calcolatrice sembra rifiutarsi di eseguire l'operazione, lasciandola indicata.

Ciò avviene non per una sua incapacità ma perché l'operazione è matematicamente scorretta: sappiamo che moltiplicando membro a membro una disequazione per un numero positivo, il senso della disuguaglianza rimane lo stesso, mentre moltiplicando membro a membro per un numero negativo il senso della disuguaglianza viene scambiato (> diventa < e viceversa).
Ora nel nostro caso, poiché l'espressione per cui vogliamo moltiplicare contiene l'incognita x, non siamo in grado di dire se stiamo moltiplicando per un numero positivo oppure negativo.

Per risolvere la disequazione dovremo quindi ricorrere ad un altro procedimento.

Disequazioni fratte: risoluzione analitica, primo modo

In sostanza la disequazione data è già stata risolta (v. Attività 13 della prima parte di questa Unità).
Si tratta solo di individuare i valori di a, b e c.
b è il valore in cui la funzione a primo membro non è definita, dato che ad esso non corrisponde alcun punto del grafico: si tratta quindi di x = 4.
a e c sono le ascisse dei punti in cui l'iperbole e la retta si intersecano, quindi sono le soluzioni dell'equazione:

Risolviamola con il comando Solve :

1 (x+2)/(x-4)= x-2, x)

Il risultato della nostra disequazione è quindi: x < 1, 4 < x < 6.

Disequazioni fratte: risoluzione analitica, secondo modo

(x+2)/(x-4) > x-2	La disequazione viene digitata in ambiente Home.
[ANS] - (x-2)	Il secondo membro viene “trasportato a primo membro”
6 [ANS])	Viene eseguita la sesta voce del menu Algebra : si tratta del comando ComDenom che riduce allo stesso denominatore l'espressione in argomento.

La disequazione è ora ridotta a forma normale (o canonica), cioè con una unica frazione algebrica a primo membro e 0 a secondo membro.
In sostanza risolvere la disequazione significa valutare il segno della funzione indicata a primo membro.

	Viene evidenziata la disequazione ottenuta.
5	Viene attivata la voce Copy del menu F1 : la disequazione viene copiata e potrà così essere “incollata” dove desideriamo.
2	Si accede all'ambiente Y=Editor.
1	Tutte le funzioni presenti sono disattivate e il loro grafico non sarà tracciato.
	Posizionare il cursore nella prima funzione “vuota”.
6	Si passa alla linea di editing V iene eseguito il comando Paste (= incolla) e la disequazione viene inserita nelle linea di editing.
	Premendo due volte il tasto di cancellazione (si tratta del tasto in basso, vicino alla barra spaziatrice) vengono eliminati i caratteri 0 e >.
	La funzione rappresentata al primo membro della disequazione è così definita.

4

Si passa all'ambiente Graph e la funzione viene tracciata: nell'immagine le soluzioni della disequazione data (corrispondenti ai punti della funzione con ordinata positiva) sono state evidenziate con la tecnica descritta nella Attività 10 e 13 della prima parte di questa Unità.

Esercizi

Risolvere le disequazioni proposte al termine della prima parte di questa Unità.

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