Cartesio
La didattica con le calcolatrici
Analisi Matematica
Unità didattiche
Disequazioni - parte I
Premessa per l'insegnante
L'intento di questa unità didattica è mostrare un esempio di come l'uso di una calcolatrice grafica e simbolica come la TI-92, (o la TI-89) può rendere più facile, efficiente e completo l'apprendimento di concetti matematici. Gli aspetti teorici dell'argomento in questione saranno ridotti al minimo, lasciando ovviamente questo compito all'insegnante, tuttavia qualche informazione per lo studente, soprattutto relativamente alla terminologia, è indispensabile.
Questa unità didattica può essere svolta in una classe i cui alunni possiedano già le seguenti conoscenze e abilità:
- numeri reali (o almeno razionali) e loro rappresentazione sulla retta.
- relazione di disuguaglianza tra due numeri e la capacità di saper confrontare due numeri dati
- saper distinguere tra i simboli > e >=, < e <=
- legge di tricotomia
- proprietà delle disuguaglianze
- alcuni elementi di geometria analitica, in particolare il concetto di grafico corrispondente ad una data equazione e alcune nozioni su: retta, parabola e iperbole equilatera.
Si noti la particolare impostazione seguita per trattare l'argomento: non ci si preoccupa assolutamente, almeno all'inizio, di imparare algoritmi di calcolo per la risoluzione di disequazioni; si sfruttano invece le possibilità offerte dai vari ambienti della TI-92 per dare solide basi sul concetto di disequazione utilizzando diverse impostazioni: prima di tutto quella euristica, per ottenere alcune soluzioni per tentativi, poi attraverso la tabulazione delle funzioni rappresentate rispettivamente al primo e al secondo membro della disequazione stessa e infine attraverso un modello analitico. Solo in un secondo tempo si procederà alle "regole di calcolo" per la determinazione delle soluzioni per via algebrica. Proprio per allontanare la tentazione a procedere subito per via algebrica, si lavora inizialmente con una disequazione "difficile".
Le attività da eseguire con la calcolatrice sono racchiuse in riquadri; nella prima colonna sono indicati i tasti da premere, nella seconda colonna vi sono le relative spiegazioni e gli eventuali commenti; spesso sono riportate anche le corrispondenti immagini dello schermo.
Cosa è una disequazione
Una disuguaglianza come la seguente: 
si chiama disequazione.
In generale una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche contenenti una variabile (detta anche incognita, di solito indicata con x). Come nelle equazioni, l'espressione a sinistra del simbolo di disuguaglianza si chiama primo membro, quella alla destra si chiama secondo membro. In realtà non è detto che le espressioni a primo e a secondo membro siano necessariamente delle espressioni algebriche come polinomi e rapporti tra polinomi: potrebbero anche essere altri "oggetti matematici" come espressioni irrazionali, trigonometriche, logaritmiche ecc. ma in questa sede ci occuperemo solo di disequazioni algebriche.
Iniziamo ad usare la TI-92:
| 1 - Accensione della macchina | ||
|---|---|---|
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La TI-92 viene accesa e ci si trova nell'ambiente di calcolo, denominato [Home]. Sullo schermo potrebbere essere già presenti calcoli eseguiti in una precedente sessione di lavoro. Questi calcoli possono essere ignorati. | |
| 2 - Cancellazione delle variabili | ||
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Questa operazione cancella il contenuto di tutte le variabili di un solo carattere che sono contenute in memoria; poiché la calcolatrice “ricorda” il contenuto delle variabili, i programmi ecc. anche dopo spenta, potrebbe esserci in memoria qualche valore assegnato alle variabili di uso più comune ( x, a ecc.). Con questo comando tali variabili vengono cancellate per evitare fenomeni indesiderati. |
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Il comando di cancellazione viene confermato. | |
| 3 - Digitazione di una disequazione | ||
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Premere, se necessario, più volte il bottone direzionale verso il basso per portare il cursore nella linea di editing. | |
| (x+2)/(x-4)>x-2 | Viene digitata una disequazione. Dato che l'editor è lineare (cioé tutto va digitato sulla stessa linea), le parentesi sono necessarie per delimitare il numeratore ed il denominatore. Il simbolo di divisione viene inserito premendo il tasto  e sulla parte destra della tastiera. Il simbolo > si inserisce premendo in successione i tasti  e  (il punto, nella parte destra della tastiera, in basso). |
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Premendo la disequazione passa nello schermo di calcolo; si noti che viene rappresentata con la tradizionale notazione delle frazioni su più livelli. Sulla destra riappare la stessa disequazione, senza modifiche. La disequazione resta, evidenziata, nella linea di editing. |
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In questo momento non ci interessa risolvere la disequazione: ci interessa solo capire cosa significa risolvere una disequazione.
A questo scopo daremo alcuni valori alla variabile x.
| 4 - L'assegnazione locale | ||
|---|---|---|
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Il cursore nella linea di editing balza alla fine dell'espressione evidenziata. |  |
| K |
Con la pressione di questi tasti in successione viene inserito il simbolo di barra verticale | ( with). Viene così realizzata una “assegnazione locale”; in parole povere l'espressione (in questo caso la disuguaglianza) alla sinistra di with sarà calcolata dando ad x il valore specificato. |
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| x = 5 |
La disuguaglianza viene valutata con x = 5; a calcolatrice risponde true (= vero). |
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Ovviamente con x = 5 il primo membro diventa, cioè 7, mentre il secondo membro diventa 5 - 2 cioè 3 e la proposizione "7 è maggiore di 3" è vera, dunque x = 5 verifica la disuguaglianza, cioè 5 è soluzione della disequazione.
Naturalmente un calcolo così facile poteva essere eseguito anche a mano, ma la calcolatrice ci permette di fare diecine di calcoli come questo in pochissimo tempo e senza pericolo di commettere errori.
Chiediamoci ora: 5 è l'unica soluzione della disequazione o esistono altri numeri che la verificano?
Scegliamo un altro numero a caso, ad esempio -4.
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Come nel caso precedente il cursore nella linea di editing balza alla fine dell'espressione prima digitata. Avremo così la possibilità di modificarla senza dover riscrivere il tutto. |
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Premendo il tasto di cancellazione ( backspace, nella parte bassa della tastiera, vicino alla barra spaziatrice) viene cancellato il carattere alla sinistra del cursore (in questo caso 5). | |
 4 |
Dato che il “meno” in questo caso non è un simbolo di operazione ma indica il segno negativo del numero, si deve usare il tasto di “meno unario”, sulla destra nella prima linea dal basso della tastiera invece del “meno binario” sulla destra della terza linea dal basso della tastiera. | |
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La disuguaglianza viene valutata e sullo schermo a destra appare il verdetto: ancora true : anche –4 è soluzione della disequazione. | |
| Forse la nostra disequazione è verificata per tutti gli x (è cioé, come si dice, una identità)? Ovviamente è ancora presto per dirlo. Procedere come nel caso precedente dando a x, nell'ordine, uno dopo l'altro, i seguenti valori: 1, 5/8, 998 e qualunque altro numero si desideri. Riportare i risultati ottenuti ( true e false) nella tabella qui accanto. |
|
Dalle verifiche ora fatte si vede che per certi valori di x la disequazione è verificata, per altri no. Esiste una terza possibilità? Vedere cosa succede se è x = 4.
I nostri precedenti tentativi non ci permettono di individuare esattamente l'insieme dei valori che verificano la disequazione data.
Procediamo ancora con verifiche, ma questa volta in modo più sistematico.
| 5- Definizione di una funzione | ||
|---|---|---|
 2 |
Con questo comando si accede ad un nuovo ambiente della TI-92: l' Y=Editor (seconda voce del menu APPS). In questo ambiente si possono definire funzioni, ciascuna delle quali individuata dal simbolo y1, y2, y3 e così via. | |
 8 |
Si seleziona l'ottava voce del menu F1 ( Tools) : Clear Functions ; tutte le eventuali funzioni preesistenti in questo ambiente vengono cancellate. | |
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La cancellazione delle funzioni viene confermata. | |
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Il cursore passa alla linea di editing (simile a quella presente nell'ambiente di calcolo Home) e si può così procedere alla digitazione della funzione desiderata. |
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| (x+2)/ (x-4) |
Viene digitato il primo membro della disequazione in corrispondenza di y1. Il cursore si posiziona automaticamente nella linea della successiva funzione, y2. |
|
| x-2 |
Viene digitato il secondo membro della disequazione in corrispondenza di y2. Si noti che le funzioni ora digitate recano sulla sinistra dello schermo il simbolo  : ciò significa che sono attive, cioè che saranno automaticamente utilizzate negli altri ambienti nei quali tra poco accederemo. |
|
| 6 - L'ambiente Table | ||
| 5 |
Si accede così all'ambiente Table : Nella prima colonna compare un elenco di valori della variabile x, nella seconda colonna l'insieme dei corrispondenti valori della funzione y1 (l'espressione a primo membro della disequazione data); nella terza colonna l'insieme dei corrispondenti valori della funzione y2 (il secondo membro della disequazione). Perché (vedi immagine a fianco) in corrispondenza di x = 4 compare la scritta undef (=indefinito)? |
 |
La tabella inizia con il valore x = 0, ma è possibile scorrere verso l'alto o verso il basso premendo ripetutamente i tasti |
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| 7 - Modifica del “passo” | ||
 |
Viene attivato il menu di impostazione della tabella ( Setup). | |
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Il cursore viene spostato in basso per portarsi nel campo  tbl (= Delta-table, cioé incremento della variabile o “passo”). |
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| .1 | Viene inserito il valore 0,1 (nel solito formato anglosassone, con il punto decimale). | |
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L'impostazione viene confermata e la tabella viene riscritta con il passo specificato. | |
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L'utente può ripetere l'esplorazione della tabella come è stato fatto in precedenza |
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Finora il confronto tra i valori assunti dal primo e dal secondo membro è stato fatto “manualmente” ma anche questa azione può essere automatizzata.
| 8 - Creazione di una nuova funzione | |||
|---|---|---|---|
| 2 |
Si torna all'ambiente Y= Editor. | ||
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Se necessario, premere il bottone direzionale fino a portarsi alla funzione y3=. | ||
|
Viene attivata la linea di editing. | ||
y1(x)> y2(x)  |
Viene così creata la “funzione” y1(x)> y2(x). Si tratta di un predicato cioè di una funzione a tutti gli effetti, che però, invece di restituire un valore numerico, restituisce un booleano, vale a dire uno dei due possibili valori di verità vero (true) oppure falso (false). | ||
| 9 - Ritorno all'ambiente Table | |||
| 5 |
Compare una nuova colonna (in corrispondenza della nuova funzione y3 ora definita) che riporta i valori true o false a seconda se il corrispondente valore di x verifica o no la disequazione (vedi immagine a fianco). |  |
|
Una dettagliata analisi della nostra tabella ci porta a congetturare che le soluzioni della nostra disequazione siano infinite ma non valori sparpagliati a caso nella retta dei numeri reali ma costituiscano degli insiemi di numeri reali ben delimitati.
Vediamo ora un'altra interpretazione della disequazione, questa volta basata sulla geometria analitica.
| 10 - Modifica di una funzione preesistente | |||
|---|---|---|---|
| 2 when(y1(x)>y2 (x),0,undef) |
Si torna all'ambiente Y= Editor. Posizionare il cursore sulla funzione y3. Viene attivata la linea di editing. Viene definita una nuova funzione che assumerà il valore 0 quando la disequazione è verificata e non è definita in caso contrario. |
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|
La nuova funzione viene confermata e passa nell'elenco delle funzioni. Alla sua sinistra compare il simbolo, il che significa che essa è attiva. Si noti il modo elegante con cui appare sullo schermo la definizione della nuova funzione. |
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 |
Premere il bottone direzionale verso l'alto fino ad evidenziare la funzione y2. | ||
 |
La funzione viene disattivata : il simbolo scompare e la funzione non sarà presa in considerazione negli ambienti Table e Graph. Il tasto è bistabile : ciò significa che, se la funzione è attiva, viene disattivata e, se non attiva, viene attivata. |
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|
Il cursore passa in y3 e anch'essa viene disattivata. L'unica funzione attiva rimane così la y1. |
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| 11 - Rappresentazione grafica di una funzione | |||
| 4 |
Viene selezionata la voce Graph e si passa così all'ambiente di grafica. Il grafico della funzione attiva viene automaticamente tracciato. Si tratta di una iperbole equilatera traslata (detta anche funzione omografica). Come è noto tali funzioni hanno due asintoti, uno orizzontale ed uno verticale: si osservi che l'asintoto verticale appare sullo schermo anche se non fa parte del grafico vero e proprio: ciò avviene perché la TI-92 traccia i grafici calcolando le coordinate di alcuni dei loro punti e poi congiungendoli con un segmento; in realtà traccia quindi sempre delle linee spezzate che però, se i punti sono “abbastanza vicini” l'uno all'altro, appaiono come linee curve. |
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| 2 |
Si torna all'ambiente Y= Editor. Posizionare il cursore sulla funzione y2. | ||
|
La funzione viene attivata. | ||
|
Il cursore viene posizionato su y3 e anch'essa viene attivata, | ||
| 12 - Modifica dello “stile” di un grafico | |||
|---|---|---|---|
 3 |
Viene attivato il menu Style alla voce Square. Con questo menu si possono tracciare i grafici delle funzioni evidenziate secondo vari “stili”: normale, tratteggiato, ingrossato ecc. In questo caso si è scelto uno stile che traccerà il grafico della funzione y3 molto “ispessito” per meglio evidenziarlo. |
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| 13 - Soluzione grafica della disequazione | |||
| 4 |
Viene tracciato il grafico delle tre funzioni: la prima, come si è detto, è un'iperbole, la seconda è ovviamente una retta. La terza funzione evidenzia i punti dell'asse delle ascisse in corrispondenza dei quali l'iperbole è “sopra” alla retta. |  |
|
| Risolvere una disequazione significa quindi, dal punto di vista grafico, individuare quali sono i valori di x (cioé quali sono le ascisse) dei punti della funzione che si trova a primo membro (in questo caso l'iperbole) che si trovano “più in alto” dei corrispondenti punti della funzione a secondo membro (in questo caso la retta). Nel nostro esempio le soluzioni della disequazione sono tutti i valori che appaiono “ingrossati” sull'asse delle ascisse cioé i valori di x che si trovano sulla semiretta alla sinistra del punto a e sul segmento delimitato dai punti b e c. Si noti che un risultato simile lo avevamo ottenuto anche con un esame numerico delle funzioni realizzato con l'ambiente Table |
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| 1 |
Al termine si torna all'ambiente di calcolo Home. | ||
Si ricordi che per ora non vogliamo risolvere la disequazione ma solo avere una idea di che cosa si intende per soluzione.
Vedremo più avanti come dovremo comportarci per individuare esattamente i valori a, b e c.
Noi ancora non conosciamo i valori di a, b e c, però possiamo già esprimere le soluzioni dell'equazione.
Si ricordi che:
Una semiretta viene sempre indicata in una delle seguenti forme:
| x > a | (se è costituita da tutti i punti dell'asse x a destra di a, a escluso) | |
| x >= a | (se è costituita da tutti i punti dell'asse x a destra di a, a compreso) | |
| x < a | (se è costituita da tutti i punti dell'asse x a sinistra di a, a escluso) | |
| x <= a | (se è costituita da tutti i punti dell'asse x a sinistra di a, a compreso) | |
Una scrittura come 3 < x è semanticamente corretta ma non è usata: la variabile x compare sempre a sinistra; è preferibile quindi scrivere x > 3.
Un segmento, detto anche intervallo, delimitato dai due valori b e c viene sempre indicato in una e una sola delle seguenti forme:
| b < x < c | ] b, c [ | intervallo aperto | |
| b <= x <= c | [ b, c ] | intervallo chiuso | |
| b < x <= c | ] b, c ] | intervallo aperto a sinistra, chiuso a destra | |
| b <= x < c | [ b, c [ | intervallo aperto a destra, chiuso a sinistra | |
Il risultato (cioé l'insieme delle soluzioni) della nostra disequazione è l'unione tra i punti di una semiretta e quelli interni ad un segmento e sarà quindi così esprimibile: x < a oppure b < x < c.
ESERCIZI:
Costruire il modello analitico e formulare una congettura sulle soluzioni utilizzando l'ambiente Table per le seguenti disequazioni:
5x - 9 < 4 - x;
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