Cartesio

La didattica con le calcolatrici

Geometria

Unità didattiche

La parabola

di Rocco Fazio

Anche questa unità si riferisce al programma del secondo/terzo anno del liceo scientifico tradizionale o sperimentale P.N.I. Nel seguito tratteremo unicamente le parabole con asse di simmetria verticale; il lettore potrà estendere in modo ovvio le nostre considerazioni a quelle con asse di simmetria orizzontale.

Obiettivo

Realizzare una libreria di semplici funzioni per le calcolatrici TI 92, TI 92 Plus e TI 89 utilizzabili per la risoluzione dei problemi della geometria analitica della parabola.

Prerequisiti

• geometria analitica della retta;
• luoghi geometrici;
• definizione della parabola come luogo geometrico;
• risoluzione di equazioni irrazionali.

Sviluppo dell'unità

Determiniamo l'equazione di una parabola nel sistema cartesiano ortogonale che ha l'origine nel vertice della curva e per asse delle x la retta per il vertice parallela alla direttrice.

In questo sistema il fuoco F ha coordinate (0; p) e la direttrice d ha equazione y=-p ; utilizzando la funzione distanza() realizzata nell'unità didattica sulla geometria analitica della retta calcoliamo la distanza di un punto generico P del piano di coordinate (x;y) da F e da d e uguagliamo le due espressioni ottenute

Eleviamo ora al quadrato ambo i membri (è sufficiente digitare l'operatore di elevamento a potenza ^ per ottenere in linea di inserimento la scrittura ans(1) che rappresenta il risultato dell'operazione precedente:

Risolviamo l'equazione rispetto ad y:

ottenendo l'equazione che, posto , si trasforma nella classica che rappresenta una parabola con il vertice nell'origine e primo coefficiente a.
Nel caso in cui il vertice non si trovi nell'origine ma abbia coordinate , l'equazione della parabola si ottiene mediante la traslazione di equazioni e assume la forma.

Realizziamo la funzione parabfd() che, acquisite in input le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice, ci fornisce l'equazione della relativa parabola:

parabfd(f,d)
Func
Local xv,yv,a	--- definisce le variabili utilizzate
1/(4*((f[2]-right(d))/2)) a	--- calcola a
f[1] xv	--- calcola le coordinate
(f[2]+right(d))/2 yv	--- del vertice
expand(y=a*(x-xv)^2+yv)	--- sviluppa l'equazione
EndFunc

Ecco la funzione al lavoro con la parabola di fuoco F(1; 2) e direttrice y = 3 :

In maniera perfettamente analoga si possono realizzare le funzioni parabfv() e parabvd() che forniscono l'equazione della parabola noti fuoco e vertice o fuoco e direttrice:

parabfv(f,v) 
 	Func 
 	Local a 
 	1/(4*(f[2]-v[2])) a 
 	expand(y=a*(x-v[1])^2+v[2]) 
 	EndFunc 

parabvd(v,d) 
 	Func 
 	Local a 1/(4*(v[2]-right(d))) a 
 	expand(y=a*(x-v[1])^2+v[2]) 
 	EndFunc 

Proseguiamo il nostro percorso con la determinazione dell'equazione della parabola di assegnato vertice V e passante per un punto P (con la retta VP non verticale); anche in questo caso sarà conveniente fare uso dell'equazione. La funzione che risolve il nostro problema è parabvp():

parabvp(v,p) 
 	Func 
 	Local a 
 	(p[2]-v[2])/(p[1]-v[1])^2 a 
 	expand(y=a*(x-v[1])^2+v[2]) 
 	EndFunc 

Il problema di determinare la parabola (con asse parallelo all'asse delle ordinate) noti il fuoco F ed un punto P ha due soluzioni; infatti esistono due rette distinte tali che P sia equidistante da F e da ciascuna di esse; verifichiamolo per esempio con i punti F (1; 1) e P (2; 3).

Le parabole si possono poi facilmente determinare con la funzione parabfd(). Risolviamo infine il problema di determinare l'equazione della parabola con asse verticale passante per tre punti (non allineati) assegnati.
Si tratta, come è noto, di risolvere il sistema lineare di tre equazioni in tre incognite ottenuto imponendo l'appartenenza dei tre punti alla parabola generica ; la funzione parab3p() risolverà il nostro problema utilizzando il comando simult() che fornisce il vettore colonna delle soluzioni acquisendo in input la matrice dei coefficienti e il vettore colonna dei termini noti del sistema:

parab3p(a,b,c) 
 	Func 

 	Local mat 
 	simult([[a[1]^2,a[1],1][b[1]^2,b[1],1][c[1]^2,c[1],1]],[[a[2]][b[2]][c[2]]]) mat 
 	matÐlist(mat) mat 
 	y=polyEval(mat,x) 
        	

EndFunc 

Ecco un esempio:

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