Cartesio
La didattica con le calcolatrici
Geometria
Esercizi svolti
La parabola e i luoghi geometrici
Dopo aver determinato l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse delle ordinate, di vertice 
e primo coefficiente, si consideri il punto P di ascissa 2 della curva. Studiare il luogo geometrico descritto dai punti medi delle corde della parabola condotte per P. Generalizzare il risultato ottenuto.
Risoluzione del problema.
Per trovare la parabola in questione è conveniente utilizzare l'equazione, che al variare del parametro a rappresenta un fascio di parabole di vertice. La nostra parabola, perciò, ha equazione.
Utilizzando le possibilità di calcolo simbolico che ci offrono le nostre macchine definiamo la funzione, cosa che ci risulterà utile in seguito:
Ecco la rappresentazione grafica della curva:
ottenuta scegliendo la finestra di visualizzazione con 
e.
L'equazione del fascio di rette passanti per il punto 
è 
; definiamo perciò la funzione 
:
Visualizziamo la situazione facendo tracciare alcune rette del fascio (corrispondenti ai valori -2,0,3):
Per migliorare la visualizzazione sono stati nascosti gli assi cartesiani. Determiniamo ora le intersezioni fra una retta del fascio e la parabola:
Ovviamente viene ritrovato il punto P, mentre l'ascissa dell'ulteriore punto di intersezione è 2m.
Determiniamo poi le coordinate del punto medio del segmento PQ :
Le coordinate del punto medio descrivono il luogo cercato al variare del parametro m ; possiamo perciò ricavare facilmente l'equazione cartesiana del luogo, sfruttando le capacità di calcolo simbolico della nostra calcolatrice:
Si tratta dunque di una parabola passante ancora per P e con primo coefficiente doppio di quello della parabola originaria (nel grafico la curva trovata è in grassetto):
L'ultima richiesta del problema ci fa sospettare che la proprietà che abbiamo dedotto per questa parabola sia valida per una parabola qualunque; la dimostrazione analitica, tuttavia, risulta parecchio laboriosa e tale da scoraggiare anche lo studente più volenteroso. Ma abbiamo dimenticato di avere a disposizione la nostra calcolatrice: proviamo a generalizzare il procedimento.
Cancelliamo dalla memoria della macchina, per sicurezza, le variabili che utilizzeremo in seguito; definiamo quindi la funzione f(x), il punto P, il fascio e determiniamo il punto Q :
Calcoliamo le coordinate del punto medio
e determiniamo l'equazione del luogo:
che è una parabola con primo coefficiente 2a.
Verifichiamo, infine, che la parabola passa ancora per P :
Il problema è ora completamente risolto.
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