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Calcolo dell'area limitata da una parabola 
Domanda
Non riesco a risolvere questo problema:
Determinare l'area della regione di piano limitata dalla parabola y=-x²+9, dalla retta y=-x+9 e dall'asse x. Il risultato del mio libro è 68/3.
Se potete inviarmi la soluzione ve ne sarei grata.
Risposta
(a cura di S. Cappuccio)
La parabola data ha la concavità rivolta verso il basso e interseca l'asse x nei punti (3, 0), (-3,0) e l'asse y nel punto (0,9).
La retta a sua volta interseca l'asse x in (9,0) e l'asse y in (0,9).
Il tuo problema chiede quindi l'area del "triangolo mistilineo" ABC (cioè un triangolo con uno dei lati che invece di essere un segmento è un arco di curva, in questo caso un arco di parabola), dove B è il punto (3,0), C(9,0) e A è uno dei punti di intersezione tra la retta e la parabola; con facili calcoli si ottiene che retta e parabola si intersecano in due punti di ascissa, rispettivamente, 0 e 1.
Ovviamente è il secondo quello che ci interessa.
Per maggior chiarezza di seguito
la figura costruita con la TI-92.
Veniamo ora all'area richiesta: è noto che sull'intervallo [a,b] l'area della regione di piano compresa tra i grafici delle funzioni f(x) e g(x) è data dall'integrale da "a" a "b" di f(x)-g(x), supponendo che, almeno in quell'intervallo, sia f(x) >= g(x).
Il triangolo mistilineo che ci interessa è formato da due parti: quella compresa (lungo la verticale) tra la retta e la parabola (sulla sinistra), e quella compresa tra la retta e l'asse x (sulla destra).
La prima parte si può calcolare facendo l'integrale da 1 a 3 di (9-x ^ 2)-(9-x), che viene dopo facili calcoli, anche manuali, 14/3.
La seconda parte può essere calcolata come area di un triangolo "vero", non mistilineo, quindi con la regoletta nota fin dalle elementari, oppure ancora con un integrale da 3 a 9 di 9-x; comunque si faccia, viene 18.
L'area totale è quindi 14/3 + 18 = 68/3.
In figura
troverai i calcoli degli integrali svolti con la calcolatrice.
Commenti sull'argomento
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Commento inviato da alessandra lattarulo il 03/01/2005 alle 14:58
Non riesco a risolvere questo problema mi aiutate grazie
In rettangolo l'altezza è 1 quinto della base e l'area è 80 dm2. Calcola l'area di un quadrato isoperimetrico al rettangolo. Alex
