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Fisica

Unità didattiche

Il Moto

Risoluzione di problemi di moto con l'ausilio della calcolatrice grafica TI-92.

di Giovanni Pezzi

Premessa per il docente

Il primo contatto che molti studenti hanno con la fisica è costituito dallo studio della cinematica. Indipendentemente dall'attività di laboratorio svolta per agevolare la comprensione dei concetti di base, si riscontrano spesso negli allievi difficoltà di apprendimento dovute alle competenze matematiche, ancora poco sviluppate nei primi anni di corso, specialmente in alcuni tipi di scuole. Ormai da tempo insegnanti e libri di testo cercano di risolvere queste difficoltà facendo ampio ricorso, nella trattazione della cinematica, a visualizzazioni e procedimenti grafici: a un ragazzo inesperto di matematica un grafico "parla" più di un'equazione. L'integrazione e la derivazione, necessarie per la determinazione delle velocità istantanee o degli spazi percorsi, possono essere realizzate in modo approssimato con procedimenti grafici. Rimangono comunque degli ostacoli: i metodi grafici richiedono tempo, forniscono risultati a volte troppo approssimati, per cui si finisce per applicarli saltuariamente e si affrontano casi estremamente semplificati.
Con l'uso delle calcolatrici grafiche nella soluzione di questi problemi, le difficoltà legate all'impiego di tempo, alla precisione dei risultati, alle scarse competenze matematiche sono notevolmente ridimensionate. Si può fare della fisica interessante senza farsi condizionare dalla matematica.
Svilupperemo nel corso della Unità Didattica alcuni esempi di questo modo di procedere con un ampio problema sul moto.

Prerequisiti

Per quanto riguarda la fisica, si presuppone che siano stati introdotti i concetti di velocità istantanea, di accelerazione e i primi elementi del moto rettilineo uniforme e del moto rettilineo uniformemente accelerato, di cui saranno note le rispettive equazioni orarie. Per quanto riguarda le competenze nell'uso delle calcolatrici grafiche, si richiedono solo le conoscenze elementari degli ambienti Home, Y=Editor, Graph, Window Editor.

In questa parte dell'Unità Didattica risolveremo un problema di cinematica che coinvolge due moti, l'uno uniforme e l'altro accelerato, facendo ricorso a procedimenti grafici e alle funzioni delle calcolatrici grafiche. Il problema proposto è abbastanza tipico, ed è presente, con qualche variante, in molti testi scolastici.

Il pedone e l'autobus

Un pedone sta correndo alla sua velocità massima di 6,0 m/s per raggiungere un autobus fermo a un semaforo rosso. Quando è a 25 m dall'autobus, il semaforo diventa verde e l'autobus comincia a muoversi e accelera uniformemente con una accelerazione di 1,0 m/s². Trovate o ( a) quanto spazio deve percorrere il pedone per raggiungere l'autobus oppure ( b) la minima distanza dall'autobus che riesce a raggiungere (massimo avvicinamento). Risolvete il problema usando un grafico oppure risolvendo le equazioni appropriate.

Il problema richiede di scrivere le equazioni orarie del moto del pedone e dell'autobus, uniforme l'uno, accelerato l'altro e di risolvere il sistema costituito dalle due equazioni. Andremo alla ricerca della soluzione per via grafica; ciò può essere fatto con "carta e matita", oppure con un computer e un foglio elettronico ( 2) o, come proponiamo ora, con una calcolatrice grafica. Questo procedimento consente di affrontare con successo il problema anche allo studente che sa impostare le equazioni del moto, ma non possiede gli strumenti matematici per giungere fino alla soluzione. Inoltre, il metodo che proporremo permette di modificare rapidamente i parametri iniziali forniti, per analizzare altri casi e verificare possibili congetture.

La risoluzione grafica

Riferiamo il moto a un sistema di riferimento con l'origine corrispondente alla posizione iniziale dell'autobus; le equazioni orarie sono (omettendo le unità di misura):

per il pedone: x = - 25 + 6 t
per l'autobus: x = ½ t ²

Raccogliamo in una tabella i parametri dei due moti, utilizzando indici diversi per distinguere le variabili relative al moto del pedone da quelle che si riferiscono all'autobus.

	pedone	autobus
posizione iniziale	xp = -25,0 m	xa = 0,0 m
velocità iniziale	vp = 6,0 m/s	va = 0,0 m/s
Accelerazione	ap = 0,0 m/s²	aa = 1,0 m/s²

Useremo l'ambiente Home per l'assegnazione delle variabili, l'editor di funzioni per la scrittura delle equazioni orarie, e l'ambiente Graph per la ricerca delle soluzioni.

Accesa la TI-92, nell'ambiente Home assegniamo i valori iniziali delle grandezze cinematiche (l'assegnazione è indicata sul display dal simbolo si ottiene premendo il tasto ):

L'impostazione delle equazioni del moto avverrà invece nell'ambiente Y=Editor, a cui si giunge premendo i tasti [W]. Conviene scrivere le equazioni senza sostituire alle variabili i valori numerici: ciò avviene automaticamente, in quanto le assegnazioni fatte in precedenza nell'ambiente Home sono condivise negli altri ambienti. E' necessario indicare la variabile tempo con la lettera x in quanto in Y=Editor le funzioni hanno la forma y = y ( x) e non x = x ( t). In fisica normalmente consideriamo per la variabile tempo solo valori positivi e quindi valuteremo le due equazioni imponendo la condizione x 0 attraverso l'operatore with, visualizzato sul display dal simbolo | :

Prima di passare all'ambiente grafico per visualizzare le due curve corrispondenti alle equazioni orarie, è opportuno predisporre il sistema di assi cartesiani impostando le variabili Window sui valori di default; si preme Zoom e si seleziona 6:Zoom Std :

Premendo [R] si attiva l'ambiente grafico. Sul display apparirà una figura simile alla seguente:

La linea curva corrisponde al moto dell'autobus, la retta a quello del pedone. Il punto di partenza di quest'ultimo rimane fuori dallo schermo.
Osservando la figura non si può decidere con sicurezza se le due curve avranno o no un'intersezione, quindi cambiamo i parametri della finestra grafica per osservare il grafico a una diversa scala; si preme e si sceglie 3:Zoom Out. Appare evidente dalla figura seguente che il pedone, alle condizioni stabilite, non riuscirà a prendere l'autobus:

Rispondiamo allora al successivo quesito: qual è la distanza minima dall'autobus a cui arriverà il pedone, cioè quale sarà il massimo avvicinamento? Risolviamo di nuovo per via grafica il problema, determinando la distanza minima tra le due curve.
Dall'ambiente grafico si attiva il menu matematico Math e l'opzione Distance

selezionando i punti delle due curve tra cui misurare la distanza:

La distanza di "frustrazione", cioè il massimo avvicinamento tra pedone e autobus, risulta circa 7 metri.

La ricerca della distanza minima

La determinazione della distanza con il metodo precedente è comunque abbastanza grossolana perché occorre individuare "a occhio" la zona del grafico in cui le due curve appaiono più vicine. Un metodo più preciso è quello di costruire la funzione che esprime la differenza delle due posizioni e cercarne il minimo.
Si ritorna all'Editor delle funzioni e si imposta la funzione y 3 come differenza delle due funzioni che esprimono le equazioni orarie:

Per visualizzare sul display solo la curva della distanza bisogna marcare come funzione attiva solo y 3.
Il grafico che si ottiene (eventualmente modificando i parametri della finestra grafica per migliorare la visibilità della curva) è simile al seguente:

Il valore che cerchiamo, la minor separazione tra il pedone e l'autobus, corrisponde al minimo della curva, in questo caso il vertice della parabola; lo determiniamo mediante l'opzione Minimum disponibile nell'ambiente Math :

Si imposta poi l'intervallo di ricerca comprendendovi il punto interessato:

La distanza minima tra autobus e pedone risulta 7 metri, al tempo 6 s:

Ora l'esercizio è completamente risolto. Possiamo, grazie alla potenza della calcolatrice grafica, affrontare e risolvere rapidamente altri aspetti del problema. Per esempio, qual era la velocità istantanea dell'autobus al momento della minima distanza dal pedone? Oppure, come bisognerebbe modificare qualche valore iniziale per consentire al pedone di salire sull'autobus?

Determinazione della velocità istantanea

Cominciamo con la velocità istantanea al tempo t = 6 m. Si richiama l'ambiente Y=Editor per rendere attiva solo l'equazione oraria dell'autobus:

Dopo aver impostato le variabili Window ai valori di default con l'opzione Zoom Std, guardando il grafico ci si accorge che il punto da analizzare non compare nel riquadro; conviene allora modificare i parametri della finestra, come segue:

Si ottiene la curva a tutto schermo:

Si chiama nel menu di matematica l'opzione Tangent:

Viene chiesto in quale punto calcolare e tracciare la tangente alla curva:

Se la risoluzione grafica non consente di indicare esattamente il valore x = 6, selezioneremo il punto più vicino:

La pendenza della tangente alla curva che rappresenta l'equazione oraria corrisponde alla velocità istantanea cercata, nel nostro caso quasi 6,0 m/s; questo significa che il pedone e l' autobus in quel momento hanno all'incirca la stessa velocità. Sull'esito della corsa quindi ha influito maggiormente la distanza iniziale fra pedone e autobus.

Alla ricerca di altre condizioni

Quale minore distanza avrebbe consentito al pedone di prendere l'autobus, a parità delle altre condizioni? Dai risultati precedenti deduciamo che il pedone sarebbe potuto salire se alla partenza fosse stato 7 metri più avanti, quindi con la posizione iniziale pari a 18 m. Per controllare il ragionamento, modifichiamo la distanza iniziale con una nuova assegnazione in Home, ponendo xp = -18 m; ritorniamo all'ambiente grafico, dopo aver modificato i parametri della finestra grafica in modo da visualizzare bene le due curve, che ora mostrano un punto di intersezione:

Procedendo come in precedenza, con le opzioni del menu Math ricerchiamo le coordinate del punto di intersezione, la distanza a cui il pedone riesce a prendere l'autobus:

Selezionate le curve e l'intervallo di ricerca, si ottiene il risultato voluto, che verifica il ragionamento svolto.

La soluzione del problema con la TI-92 Plus o la TI-89

Con la TI-92 modulo Plus o la TI-89 si può ripercorrere naturalmente il percorso precedentemente delineato. Esse consentono però anche la soluzione algebrica del sistema di equazioni, fornendone direttamente le soluzioni senza passare per il metodo grafico. Con la TI-89 si imposta il sistema, in ambiente Home, scrivendo:

solve ( x =.5 * aa * t ^2 and x = vp * t + xp , { t, x })

La risposta è false, con le condizioni iniziali originarie: