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Fisica nel parco divertimenti di Mirabilandia (parte III): la Sierra Tonante

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Premessa

L'attrazione è descritta nel sito di Mirabilandia, al seguente indirizzo: http://www.mirabilandia.it/parco/attrazioni_it.htm.

Nella seguente immagine forniamo una vista dall'alto dell'attrazione, evidenziando alcuni punti interessanti come ad esempio le prime colline.

Vedi figura Sierra

L'acquisizione dei dati è cominciata alla partenza del treno con un campionamento ogni 0,4 s. Le misure sono state effettuate con la valigetta posta sul piano del treno e l'accelerometro orientato in modo da essere o perpendicolare o parallelo al piano del vagone. In un caso misuriamo la componente verticale dell'accelerazione, nell'altro quella longitudinale. Dal sistema d'acquisizione si ottengono tre liste che chiamiamo TEMPO, PRES e ACCE.

I dati dell'accelerazione verticale

Per scaricare i dati sperimentali sul tuo computer, cliccare sulle voci seguenti: acce, pres, tempo.

Caricati i dati nella memoria della calcolatrice, per operare su di essi è necessario inserirli nell'ambiente della gestione delle liste (vedi la procedura).

L'editor delle liste si può presentare come nella seguente figura.

I grafici

Seguendo la procedura proposta per la visualizzazione dei grafici, si ottengono i grafici relativi all'andamento della pressione atmosferica e dell'accelerazione in funzione del tempo.

pressione atmosferica (mmHg) vs tempo (s)

accelerazione (m/s²) vs tempo (s)

L'altimetria

Dai dati barometrici vogliamo risalire a quelli altimetrici. Nell'ambiente di Editor di liste definiamo una nuova lista di nome ALT in cui vogliamo inserire i valori dell'altezza rispetto al suolo. Si ottengono da quelli della pressione atmosferica sapendo che 1 mmHg corrisponde a circa 10,5 m di altezza. ( [1])

La nuova lista si ottiene con il comando ALT = ( max ( Ù PRESS)- Ù PRESS)*10,5. La funzione max ( lista) fornisce il valore massimo della lista indicata. Si accede a tale funzione con la combinazione dei tasti. Si seleziona con il cursore il menù MATH e quindi si sceglie la seconda funzione in elenco, confermando in ultimo con il tasto. Si ottiene il seguente risultato. Vedi anche l'animazione.

Per ottenere il grafico si segue la solita procedura, avendo cura di disattivare (OFF) gli eventuali altri grafici attivi. Per questo grafico è stato scelto come marcatore il +.

Dopo il tasto e la selezione della funzione ZoomStat, si ottiene quindi l'andamento altimetrico in metri in funzione del tempo, in secondi.

Le informazioni sul moto

Diventa quindi interessante sovrapporre il grafico dell'accelerazione (ACCE) con quello dell'altitudine (ALT). Per far questo si devono attivare (ON) insieme i grafici dell'accelerazione e dell'altimetria.

Selezioniamo per chiarezza la zona iniziale dei grafici. Con il tasto si entra nel menù dello ZOOM MEMORY, quindi si seleziona il primo comando ZBox e si conferma con il tasto. Nello schermo compare un cursore a forma di crocetta (In evidenza nella sottostante figura) e nel bordo inferiore le sue coordinate. Utilizzando i tasti di scorrimento, spostiamo il cursore nella posizione iniziale da cui eseguire lo zoom. Dopo la conferma con il tasto, si evidenzia un rettangolo che può essere dimensionato a piacere, racchiudendo la zona su cui porre l'attenzione. Confermando con il tasto, si ottiene l'immediata rappresentazione della regione selezionata.

Nell'esempio si è visualizzato la parte corrispondente ai primi all'intervallo di tempo compreso fra 36 s e 76 s.

In questo modo è possibile associare ai valori d'accelerazioni particolari posizioni del moto. In particolare per chiarezza la precedente figura è stata rielaborata, ingrandendola e arricchendola d'indicazioni. Si è colorato di rosso l'andamento dell'accelerazione e posto l'accento sulla discesa della prima collina.

L'analisi della prima salita

Il comando permette di navigare sugli andamenti. Premuto il tasto, compare sullo schermo un cursore a crocetta vincolato sui dati di un singolo grafico. I tasti cursore della calcolatrice up e down permettono di selezionare in questa fase l'uno o l'altro grafico, mentre quelli left e right spostano la crocetta sui dati di un singolo andamento. In fondo allo schermo compaiono le coordinate del cursore. In questo modo è possibile scoprire che la salita è durata circa 22 s e che l'altezza della prima collina è mediamente di circa 30 m.

Il treno è trascinato con velocità costante da una catena mossa da un motore elettrico, ma il sistema registra un'accelerazione che, in un piano inclinato, è la componente perpendicolare della forza peso quindi ci si deve aspettare nel tratto di salita valori di accelerazione inferiori al consueto g pari a.

Con il comando, scorrendo i dati dell'accelerazione nell'intervallo temporale fra i 38 s e i 60 s; si osservano valori significamene inferiori a g. Vedi l'animazione.

L'analisi della prima discesa

Evidenziamo ora solamente i dati della discesa, utilizzando ancora il comando ZBox. Analizziamo l'andamento dell'accelerazione e vi associamo le sensazioni del passeggero riguardo al peso.

Elaboriamo l'immagine precedente, colorando il grafico dell'accelerazione in rosso.

Con il comando è facile individuare che dopo circa 2 s dall'inizio della discesa, il passeggero riceve la sensazione di assenza di peso.

Il treno segue in questa zona una traiettoria approssimativamente parabolica.

La forma è tale per cui il passeggero è soggetto ad un'accelerazione fittizia in direzione opposta a quella in cui avviene la variazione repentina di velocità. La risultante tra questa forza fittizia e la forza peso nelle sue componenti determina la sensazione corporea di assenza di peso.

Il valore dell'accelerazione alla fine della discesa è di 38,7 m/s² che corrisponde a circa 4 g.

Il calcolo della velocità alla fine della discesa

L'accelerazione verticale può fornire informazioni sulla velocità del treno solo alla fine della discesa dove la traiettoria è costituita da un arco di circonferenza. In questo punto la componente longitudinale e laterale dell'accelerazione sono nulle e la velocità dipende solo dall'accelerazione centripeta. Il passeggero la interpreta come forza centrifuga che si somma alla forza peso, dandogli la sensazione di maggiore pesantezza, com'è mostrato nella seguente figura.

Calcoliamo la velocità massima alla fine della discesa. Dal grafico dell'accelerazione bisogna estrarre la parte che interessa ossia la zona intorno alla minima altezza. Con il comando si cercano gli estremi dell'intervallo di tempo “utile”.

Estraiamo la parte che interessa per potere rielaborare i dati. Per far questo occorre ricopiare le due liste TEMPO e ACCE in altre due di comodo, ad esempio TIME e AC, che saranno poi “ridotte”. Si utilizza il tasto come nel comando rappresentato nella seguente figura.

Con la combinazione dei tasti si passa all'ambiente STAT PLOT e impostiamo il grafico Plot1 per rappresentare le due nuove liste. Disegniamo sullo schermo il nuovo grafico con il tasto e la selezione della funzione ZoomStat, dopo aver reso inattivi (OFF) gli altri grafici, se necessario.

Ora estraiamo i dati della zona prima evidenziata. Utilizziamo la funzione Select ( lista1, lista1) che seleziona nelle liste in argomento un sottoinsieme dei dati con la scelta del left e right border. Si preme e si seleziona il menù OPS e quindi la funzione Select dall'elenco.

Inseriamo il nome delle liste TIME e AC utilizzando l'elenco ottenibile con la combinazione, selezionando quindi dall'elenco fornito e confermando con il tasto. Utilizzando i valori temporali in precedenza determinati (70,4s - 71,2 s), s'individua l'intervallo dei dati da selezionare nelle schermate left e right border.

Quindi il tasto e selezione della funzione ZoomStat per la visualizzazione del grafico.

Mettiamo quindi in editor la nuova lista AC dell'accelerazione, utilizzando le consuete procedure.

Vedi animazione

Poiché l'accelerazione è stata misurata in modo discreto in tempi separati tra loro di t i = 0,4 s, la velocità v i (t i) è ottenibile calcolando l'area sottesa della zona selezionata nel grafico dell'accelerazione in funzione del tempo utilizzando la formula v i = t i (a i).

Per far questo si utilizza il comando cumSum (lista) che restituisce in una lista le somme cumulative degli elementi di una lista selezionata.

Premere, quindi selezionare Edit con il tasto. Definiamo una nuova lista VELOC utilizzando la funzione cumSum. Questa si trova in, menù OPS, poi selezione dall'elenco della funzione e conferma con il tasto.

Vedi animazione

Per graficare questa lista, premiamo e selezioniamo ad esempio Plot1. Con la solita procedura impostiamo la Xlist con la lista TIME e Ylist con la lista VELOC. Poi il tasto e selezione della funzione ZoomStat, quindi compare il grafico. S'individua con il tasto, la velocità raggiunta dopo 70.8 s.

Si osserva che nel punto più basso della traiettoria, la velocità è di circa 26 m/s pari a 94 km/h.

I dati dell'accelerazione longitudinale

La valigetta è stata posta sul piano del treno e l'accelerometro è stato orientato in modo da essere parallelo al piano del vagone, con il verso in avanti. Alla partenza del treno si è dato il via all'acquisizione dei dati.

Nella seguente immagine forniamo una vista dall'alto dell'attrazione, evidenziando alcuni punti interessanti quali ad esempio le prime colline.

Vedi figura Sierra

Dal sistema d'acquisizione si sono ottenute tre liste TEMPO, PRES e ACCE, con un campionamento di 0,4 s.

Per scaricare i dati sperimentali sul tuo computer, cliccare sulle voci seguenti : acce, pres, tempo.

Caricati i dati nella memoria della calcolatrice, per operare su di loro, è necessario inserirli nell'ambiente della gestione delle liste (vedi la procedura).

L'editor delle liste si può presentare come nella seguente figura.

I grafici

Seguendo la procedura proposta per la visualizzazione dei grafici, si ottengono i grafici relativi all'andamento della pressione atmosferica e dell'accelerazione in funzione del tempo.

Pressione atmosferica (mmHg) vs Tempo (s)

Accelerazione (m/s²) vs Tempo (s)

L'altimetria

Dai dati barometrici si può risalire a quelli altimetrici. Definiamo una nuova lista ALT. Evidenziamo con il cursore l'intestazione della quarta colonna e quindi nella riga in basso nello schermo scriviamo la sua definizione. Sapendo che 1 mmHg corrisponde a circa 10,5 m [1], la nuova lista è così data ALT = (max( Ù PRESS)- Ù PRESS)*10,5. La funzione max(lista) ritorna il valore massimo della lista indicata. È possibile accedere a tale funzione con la combinazione dei tasti. Si seleziona con il cursore il menù MATH e quindi si sceglie la seconda funzione in elenco, confermando in ultimo con il tasto. Ottenendo il seguente risultato. Vedi anche l'animazione.

Per ottenere il grafico si segue la solita procedura, avendo cura di disattivare (OFF) gli eventuali altri grafici attivi. Per questo grafico è stato scelto come marcatore il +.

Dopo il tasto e la selezione della funzione ZoomStat, si ottiene quindi l'andamento altimetrico (m) in funzione del tempo (s).

Le informazioni sul moto

Diventa quindi interessante sovrapporre il grafico dell'accelerazione (ACCE) con quello dell'altitudine (ALT). Per far questo si deve attivare (ON) insieme i grafici dell'accelerazione e dell'altimetria.

Selezioniamo per chiarezza la zona iniziale dei grafici. Con il tasto si entra nel menù dello ZOOM MEMORY, quindi si seleziona il primo comando ZBox e si conferma con il tasto. Nello schermo compare un cursore a forma di crocetta (In evidenza nella sottostante figura) e nel bordo inferiore le sue coordinate. Utilizzando i tasti di scorrimento, spostiamo il cursore nella posizione iniziale da cui eseguire lo zoom. Dopo la conferma con il tasto, si evidenzia un rettangolo che può essere dimensionato a piacere, racchiudendo la zona su cui porre l'attenzione. Confermando con il tasto, si ottiene l'immediata rappresentazione della regione selezionata.

Nell'esempio si è visualizzato la parte corrispondente all'intervallo di tempo compreso fra 10.4 s e 58,8 s.

In questo modo è possibile associare ai valori d'accelerazioni particolari posizioni del moto. In particolare per chiarezza esplicativa, la precedente figura è stata rielaborata, ingrandendola e arricchendola d'indicazioni. Si è colorato di rosso l'andamento dell'accelerazione e posto l'accento sulla discesa della prima collina.

La salita

Il comando permette di muoversi sul grafico. Premuto il tasto, compare sullo schermo un cursore a crocetta vincolato sui dati di un singolo grafico. I tasti cursore della calcolatrice up e down permettono di selezionare in questa fase l'uno o l'altro grafico, mentre quelli left e right spostano la crocetta sui dati di un singolo andamento.

In fondo allo schermo compaiono le coordinate del cursore. In questo modo è possibile scoprire che la salita è durata circa 24 s e che l'altezza della prima collina è mediamente di circa 33 m.

Il calcolo dell'angolo di salita della prima collina

Il treno è trascinato con velocità costante da una catena mossa da un motore elettrico.

Dal grafico dell'accelerazione durante questa fase del moto si osservano valori diversi da zero. Il sistema registra un'accelerazione dovuta al traino della catena: essendo su un piano inclinato ha lo stesso modulo della componente parallela al piano della forza peso, ma verso contrario. Ci si deve quindi aspettare, nel tratto di salita, valori di accelerazione inferiori al consueto g , pari a.

Dall'immagine seguente si osserva che la salita è rettilinea solo per il tratto iniziale, mentre il treno arriva alla sommità della prima collina con un breve arco di circonferenza. All'immagine è stata sovrapposta quella dell'accelerazione longitudinale. Questa cresce in A perché inizia il piano inclinato e per il tratto rettilineo assume un valore costante in accordo con la precedente equazione, poi, quando la rotaia diventa curva, l'accelerazione decresce fino ad essere nulla sulla sommità B della collina.

Per elaborare i dati di questo tratto, bisogna estrarre la parte che interessa, ossia la zona compresa fra il momento in cui il treno inizia a salire e quello in cui transita nell'ultimo tratto presumibilmente rettilineo (nella figura la linea verde). Con il comando si cercano gli estremi dell'intervallo di tempo “utile”. Per semplicità non è stato rappresentato l'andamento altimetrico.

Estraiamo la parte che interessa per potere rielaborare i dati. Per far questo occorre ricopiare le due liste TEMPO e ACCE in altre due di comodo, ad esempio TIME e AC, che saranno poi “ridotte”. Si utilizza il tasto, con il comando rappresentato nella seguente figura.

Con la combinazione dei tasti si passa all'ambiente STAT PLOT e impostiamo il grafico Plot1 per rappresentare le due nuove liste. Dopo aver reso inattivi (OFF) gli altri grafici, se attivi, visualizziamo il nuovo grafico con il tasto e la selezione della funzione ZoomStat, confermata da.

Inseriamo il nome delle liste TIME e AC utilizzando l'elenco ottenibile con la combinazione, selezionando quindi dall'elenco fornito e confermando con il tasto. Utilizzando i valori temporali in precedenza determinati (20s - 42 s), s'individua l'intervallo dei dati da selezionare nelle schermate left e right border.

Quindi premiamo il tasto e selezioniamo la funzione ZoomStat per la visualizzazione del grafico.

Mettiamo quindi in editor la nuova lista AC dell'accelerazione, utilizzando le consuete procedure.

Vedi animazione

Usciamo dall'ambiente dell'editor di liste con la combinazione dei tasti QUIT. La calcolatrice presenta lo schermo HOME. Calcoliamo il valore medio dei dati della lista AC, utilizzando la funzione mean ( list). Premere e si seleziona il menù MATH e quindi la funzione mean dall'elenco, confermando con.

Si inserisce, quindi, come argomento della funzione il nome della lista AC con e selezione nell'elenco, confermando con. Completando il comando e confermando con, si ottiene il seguente risultato.