Cartesio

La didattica con le calcolatrici

Fisica

Unità didattiche

Analisi dei circuiti elettrici

di Giovanni Pezzi

Scopo

In questa unità didattica risolveremo alcuni esercizi riguardanti i circuiti elettrici in corrente continua, utilizzando operatori matematici disponibili nell'ambiente Home della TI-92 o della TI-89 o TI-92 Plus.

Prerequisiti

Per quanto riguarda la fisica, l'unità didattica richiede la conoscenza delle leggi relative ai circuiti elettrici, in particolare le leggi di Ohm e di Kirchhoff. Relativamente alla matematica, è necessaria la conoscenza delle equazioni di primo grado e, per alcuni esercizi, del procedimento di Cramer per la risoluzione di un sistema di equazioni di primo grado.
E' sufficiente una pratica elementare della calcolatrice TI-92 o TI-89.

Premessa per il docente

Affrontando in fisica lo studio dei circuiti elettrici in corrente continua, si propone allo studente di risolvere esercizi standard in cui, assegnati i valori delle forze elettromotrici e delle resistenze inserite, occorre calcolare le intensità delle correnti che attraversano i vari rami. Il procedimento risolutivo normalmente richiede di scomporre il circuito in maglie e nodi e di applicarvi le leggi di Ohm e di Kirchhoff, giungendo a un sistema di equazioni lineari. A questo punto l'aspetto fisico del problema è risolto e rimane solo quello matematico, che spesso si rivela lungo e laborioso.
Nell'attività scolastica, analizzare molte situazioni diverse, risolvendo più casi di circuiti, può quindi diventare improponibile per il tempo richiesto nella sola esecuzione dei calcoli. Queste difficoltà possono essere superate ricorrendo alle calcolatrici grafiche TI-92 o TI-89. Nella parte di presentazione di esempi verranno affrontati e risolti due casi; nella seconda parte saranno analizzati altri due esercizi e la loro soluzione sarà commentata in modo più approfondito.

Primo esercizio

E' dato il circuito in figura, con i seguenti valori:

E 1 = 6,0 V, E 2 = 2,5 V, R 1 = 4,0 , R 2 = 2,0 , R 3 = 3,0 .

Calcolare l'intensità delle correnti che attraversano i vari rami, nell'ipotesi che la resistenza interna dei generatori sia trascurabile.

Analisi del circuito

Il circuito, a più maglie, comprende due sorgenti di forza elettromotrice e tre resistori. Le correnti richieste sono tre e altrettante dovranno essere le equazioni da risolvere. Scegliamo arbitrariamente i versi delle correnti come indicato in figura. Il punto P è un nodo in cui entra la corrente i ed escono le due correnti i 1 e i 2 ; per la legge dei nodi di Kirchhoff si ha la relazione:

i = i 1 + i 2.

Questa costituisce la prima delle tre equazioni necessarie.
La legge dei nodi di Kirchhoff afferma che in ogni nodo la somma delle correnti che vi entrano è uguale alla somma di quelle che escono. La legge non è altro che una formulazione del principio di conservazione della carica.
Per le altre due, applichiamo il principio delle maglie di Kirchhoff ; in quella esterna, percorrendo la maglia in senso orario a partire dal generatore E 1, si ha un aumento di potenziale E 1, seguito da una diminuzione i 2 × R 2 attorno al resistore R 2, da un'altra attorno al generatore E 2 e infine dall'ultima caduta di potenziale i 3 × R 3 attorno al resistore R 3. Tutto questo si riassume nella equazione seguente:
N.B.: La legge delle maglie afferma che la somma algebrica delle differenze di potenziale che si incontrano lungo un circuito chiuso (maglia) completo è nulla. La legge è un'espressione del principio di conservazione dell'energia.

6 V- (2,0 ) i 2 - 2,5 V- (3,0 ) i

Applichiamo lo stesso procedimento alla maglia di sinistra contenente il generatore di f.e.m. E 1 e i resistori R 1 ed R 3 ; otteniamo l'equazione:

6 V- (4,0 ) i 1 - (3,0 ) i

Risoluzione con la TI-92

La funzione s imult presente nella TI-92 consente di risolvere un sistema di equazioni lineari, ridotte a forma normale, con il metodo di Cramer.
Secondo la regola di Cramer, un sistema di equazioni lineari in tre incognite, x, y, z, nell'ipotesi
D 0, ammette una e una sola soluzione data da x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D, essendo D il determinante del sistema e Dx, Dy, Dz i determinanti relativi alle incognite.
La sintassi è:
simult (esprMatrice,esprVettore)
in cui:
esprMatrice è una matrice quadrata e comprende i coefficienti dell'equazione
esprVettore è un vettore contenente le costanti
Il risultato è un vettore di colonna con le soluzioni del sistema.

Riscriviamo le tre equazioni in forma normale, senza riportare le unità di misura:

i - i 1 - i 2 = 0
3 i - 2 i 2 = 3,5
3 i - 4 i 1 = 6

Il comando si scrive nella riga di introduzione nel seguente modo, rispettando accuratamente la sintassi per l'uso delle virgole, punto e virgola e parentesi quadre come separatori degli elementi della matrice, delle righe, delle matrici stesse:

simult ([1, -1, -1; 3, 0, 2; 3, 4, 0] , [0; 3.5; 6])

Dopo aver premuto sul display appare:

Le soluzioni cercate sono dunque, approssimando i risultati:

i = 1.0 A
i 1 = 0.75 A
i 2 = 0.25 A

Il verso stabilito inizialmente era esatto.

Risoluzione con la TI-89

Con le calcolatrici TI-92 Plus e TI-89 si può seguire il percorso precedentemente delineato, oppure utilizzare un operatore matematico che fornisce in modo più diretto le soluzioni del sistema di equazioni. La funzione solve, che nella versione base della TI-92 permette di risolvere equazioni lineari, in questa si applica a sistemi di equazioni legate dalla congiunzione and.
Riferendosi alla TI-89, si imposta il sistema, in ambiente Home, scrivendo:

solve (i-i1-i2 = 0 and 3*i+2*i2 = 3.5 and 3*i+4*i1 = 6,{i,i1,i2})

Dopo aver premuto sul display appare:

Come si vede, l'impostazione è più semplice, non occorrerebbe nemmeno scrivere le equazioni in forma normale ed i risultati sono esplicitamente associati alle incognite corrispondenti.

Secondo esercizio

In alcuni prolemi risulta più semplice scrivere le equazioni in forma completamente letterale, assegnando alle costanti o ai parametri i loro valori solo prima di risolvere il sistema. Inoltre l'espressione letterale può essere registrata in memoria e riutilizzata in altri esercizi simili, effettuando solo le eventuali modifiche necessarie. Vediamo l'esempio.

E' dato il seguente circuito:

I valori delle f.e.m. e delle resistenze sono:

E 1 = 2,1 V; E 2 = 6,3 V; E 3 = 4,5 V;
R 1 = 1,7 ; R 2 = 3,5 ; R 3 = 2,8 ; R 4 = 1,8 .

Calcolare l'intensità delle correnti che attraversano i vari rami.

Analisi del circuito

Il circuito, a più maglie, comprende tre sorgenti di forza elettromotrice e quattro resistori. Le correnti richieste sono tre e altrettante dovranno essere le equazioni da risolvere. Scegliamo arbitrariamente i versi delle correnti come indicato in figura. Il punto P è un nodo in cui entra la corrente i 1 ed escono le due correnti i 2 e i 3 ; per la legge dei nodi di Kirchhoff si ha la relazione:

i 1 = i 2 + i 3.

Applichiamo il principio delle maglie di Kirchhoff: in quella esterna, percorrendola in senso orario dal generatore E 1, si ha un aumento di potenziale prodotto dal generatore di f.e.m. E 1, seguito solo da diminuzioni di potenziale lungo i quattro resistori disposti lungo il percorso e attraverso il generatore E 2. Ciò si esprime matematicamente con la seguente equazione:

E 1 - i 1 · R 1 - i 3 · R 1 - E 3 - i 3 · R 3 - i 1 · R 4 = 0

Applichiamo lo stesso procedimento alla maglia di sinistra contenente il generatore di f.e.m. E 1, i resistori R 1, R 2, R 4 ; otteniamo l'equazione:

E 1 - i 1 · R 1 - i 2 · R 2 - E 2 - i 1 · R 4 = 0

Ora disponiamo delle tre equazioni lineari del sistema.

Risoluzione con la TI-92.

Facciamo ricorso alla funzione s imult, ma prima assegniamo i valori delle f.e.m. e delle resistenze, per impostare in modo letterale il sistema. Come nome di variabile esplicativo per le resistenze usiamo re 1, re 2, - in quanto r 1, r 2, - sono nomi di variabili riservati. La figura mostra l'azione di assegnazione:

Riscriviamo ora le tre equazioni in forma normale:

i 1 - i 2 - i 3 = 0

i 1 · ( R 1 + R 4) + i 3 ( R 1 + R 3) = E 1 - E 3

i 1 · ( R 1 + R 4) + i 2 R 2 = E 1 - E 2

Il comando simult si scrive nella riga di introduzione nel seguente modo:

simult ([1, -1, -1; re1+ re4, 0, re1+re3; re1+re4, re2, 0], [0; e1-e3; e1-e2])

Come si nota, si può lasciare indicata la somma delle resistenze, per esempio re1+ re4 o la differenza delle f.e.m., per esempio e1- e2. Le sostituzioni e i calcoli verranno eseguiti automaticamente dalla calcolatrice.
Dopo aver premuto sul display appare:

Le soluzioni sono, approssimando le cifre:

i 1 = - 0,62 A
i 2 = - 0,58 A
i 3 = - 0,048 A.

Poiché i risultati ottenuti hanno il segno negativo, tutti i versi che avevamo assegnato inizialmente alle correnti devono essere invertiti.

Risoluzione con la TI-89

Anche in questo secondo esempio, con la TI-92 modulo Plus o la TI-89 si può risolvere in maniera più diretta il sistema di equazioni utilizzando il comando solve. Dapprima vengono assegnati a variabili i valori delle f.e.m. e delle resistenze, come si può vedere nella figura seguente:

Successivamente si scrive nella riga di introduzione:

solve (i1=i2+i3 and e1-i1*re1-i3*re1-e3-i3*re3-i1*re4=0 and e1-i1*re1-i2*re2-e2-i1*re4=0,{i1,i2,i3})

Dopo aver premuto sul display appare:

Le soluzioni appaiono sullo schermo esplicitamente indicate.

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