Cartesio

La didattica con le calcolatrici

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Matematica finanziaria e Statistica

Unità didattiche

I piani di ammortamento con con l'uso della TI-92

di Enrico Lamanna

Questa unità didattica analizza l'impiego della calcolatrice grafico simbolica per mettere a confronto diversi metodi di rimborso di un prestito e può essere inserita in un modulo di un percorso di matematica applicata del triennio IGEA. I contenuti della disciplina sono organizzati in una mappa concettuale generale che costituisce un esempio di possibili collegamenti fra di essi. Come è noto ogni modulo è articolato in unità didattiche, in obiettivi e in descrittori dove vengono indicati i risultati attesi minimi di uscita espressi in termini di acquisizione di concetti, regole, proprietà, procedure e di abilità operative essenziali.
Di seguito viene evidenziato il modulo " Matematica finanziaria e attuariale " in cui è inserita l'unità didattica relativa ai piani di ammortamento. Il blocco tematico, di cui il modulo può far parte, ha come obiettivo generale:
" Affrontare lo studio dei modelli finanziari ed attuariali evidenziando il significato economico delle diverse operazioni, privilegiando la padronanza concettuale e la consapevolezza delle procedure utilizzate e avvalendosi di tecniche di calcolo approssimato oltre che di software specifico nei problemi di valutazione di investimenti "

Contenuti

Estinzione di un debito, costituzione di un capitale
Piani di ammortamento (accantonamento)

Prerequisiti

Risolvere equazioni di primo e secondo grado
Risolvere semplici equazioni esponenziali
Conoscere gli ambienti, i principali comandi e funzioni di una calcolatrice grafico simbolica

Obiettivi

Comprendere la differenza tra importo e valore nel tempo di un capitale
Costruire un piano di ammortamento / accantonamento

Articolazione del modulo

Descrittori

Utilizzare l'equivalenza finanziaria nell'analizzare forme di capitalizzazione
Calcolare la durata di un piano di ammortamento
.....................

Inizialmente vengono definite le possibili modalità di rimborso di un prestito:

1. pagando alla scadenza il capitale e l'interesse, cioè il montante: si parla in questo caso di rimborso globale e interessi globali ;
2. pagando periodicamente l'interesse e alla scadenza il capitale: si parla in questo caso di rimborso globale e interessi periodici ;
3. pagando periodicamente gli interessi e rimborsando gradualmente anche il capitale in questo caso si parla di ammortamento o rimborso graduale ;

mettendo in evidenza che si parla spesso di ammortamento per indicare qualsiasi forma di rimborso. Ciò però non è esatto: l'uso del termine ammortamento va riservato al rimborso graduale. Il rimborso globale con interessi globali viene utilizzato per i prestiti a breve scadenza, per quelli a lunga scadenza si preferisce il rimborso del capitale alla scadenza con pagamento periodico degli interessi oppure il rimborso graduale, ovvero l'ammortamento.
La prima modalità non viene qui presa in considerazione, poiché si collega alle leggi di capitalizzazione che qui si ritengono già note.
Vengono invece analizzate le altre due modalità di rimborso, partendo dalla terza in cui vengono considerate le forme d'ammortamento:
- uniforme o italiano
- progressivo o francese
Successivamente si prende in considerazione una particolare modalità del "rimborso globale e interessi periodici" che presenta il vantaggio di conciliare alcune esigenze sia del creditore che del debitore:
- ammortamento a due tassi o americanoPoi vengono date le definizioni relative a:

• rata di ammortamento : somma della quota capitale e della quota interessi
• debito estinto : somma delle quote capitale fino ad allora pagate
• debito residuo : somma delle quote di capitale da pagare
• quota interessi : interesse per un anno sul debito residuo dell'anno precedente
• quota capitale : quota di capitale da pagare nell'anno

infine si passa alla trattazione delle singole modalità di rimborso di un capitale.
Al termine della introduzione teorica inizia la parte informatica.
È dato come prerequisito che gli alunni già conoscano i comandi, le funzioni principali e gli ambienti della TI-92 o della TI89.
Sarà compito dell'insegnante illustrare il programma sui piani di ammortamento costruito con la calcolatrice, mentre gli allievi potranno successivamente cimentarsi nella costruzione di parti dei programmi per calcolare aspetti di un piano d'ammortamento. Oppure sarà possibile ricostruire l'intera programmazione assegnando ad ogni alunno o gruppo di alunni la costruzione di una specifica parte di programmazione in modo da assemblare successivamente tutti i prodotti ottenuti e controllare se il lavoro svolto è conforme a quanto richiesto inizialmente.
Di seguito vengono fornite le principali caratteristiche del programma.
I dati che devono essere forniti in ingresso sono:

1. il capitale da rimborsare,
2. il tasso di interesse,
3. la durata dell'ammortamento.

Successivamente dopo l'elaborazione dei dati di ingresso, mediante il metodo di rimborso scelto, vengono visualizzati, a richiesta dell'utente, i grafici e la tabella del piano, mettendo in risalto le peculiarità di ognuno di essi.
Le fasi della programmazione sono brevemente riassunte nello schema seguente, dove in grassetto corsivo sono indicati i nomi dei principali (sotto)programmi utilizzati. Il nome graf… indica che la possibilità di visualizzare i diversi tipi di grafico.
In questa elaborazione vengono sfruttati diversi ambienti della TI-92 o TI89, si parte ovviamente dall'ambiente di programmazione per passare a quello Home, all'ambiente DATA/MATRIX all'ambiente di grafica.
Si sono usati inoltre alcuni comandi per la costruzione di apposite barre di menù e di finestre di dialogo.

Si mostrano ora le diverse fasi iniziando dal richiamo del programma principale che deve essere richiamato da HomePer poter operare passare allo schermo Home e digitare

scelta()	e a questo punto appare la seguente schermata

digitare F1 seguito da 1 o 2 o 3 per scegliere il tipo di ammortamento da utilizzare :

F1	oppure scegliere F3 per uscire

Nell'ipotesi usata (ammortamento italiano) appare subito la seguente videata e nella finestre di dialogo che appare bisogna digitare:

il capitale da ammortizzare: 1000	il tasso di interesse:.05

il numero di periodi: 10

A questo punto viene eseguito il calcolo di tutti gli elementi:

1. calcolo rata,
2. quota capitale,
3. quota interessi,
4. debito estinto,
5. debito residuo

del piano di ammortamento che vengono memorizzati in una tabella dell'ambiente di Data/matrix editor simile alla seguente:

ed appare il menù principale	per far comparire i valori numerici del piano digitare F1

quando si vuol ritornare al menù principale:	poi per visualizzare i grafici F2

E' possibile visualizzare i diversi grafici tutti costruiti avendo in ascissa il numero delle rate (periodi)
F2 1 rata	F2 2 quota capitale

F2 3 quota interessi

F2 4 debito estinto	F2 5 debito residuo

Dopo la visualizzazione di un qualsiasi grafico o della tabella è possibile andare ad altro tipo di ammortamenti o uscire dal programma
F3 1	F3 2

Operazioni e schermate simili si ottengono utilizzando l'ammortamento francese.Per quanto riguarda invece l'ammortamento americano i dati di ingresso sono:
capitale,
tasso di interesse del mutuo,
tasso di interesse relativo alla costituzione del fondo:

.04

e alla durata dell'ammortamento
Poi quando dal menù principale si chiede la visualizzazione della tabella si ottiene

F1

La parte di dati visualizzati sono contenuti in una tabella come la seguente

E' possibile visualizzare i diversi grafici tutti costruiti avendo in ascissa il numero delle rate (periodi)

Rata complessiva quota interessi mutuo

F2 1 rata complessiva	F2 2 quota interessi mutuo

F2 3 rata costituzione fondo	F2 4 quota interessi fondo

F2 5 fondo costituito

Dallo schema iniziale si deduce che il programma base è quello chiamato scelta di cui viene fornito il listato delle istruzioni.

Prgm 
 ClrIO 
 Lbl f1 
 Toolbar 
 Title "AMMORTAMENTI" 
 Item "ITALIANO ",ital 
 Item "FRANCESE ",franc 
 Item "AMERICANO ",amer 
 Title " ",f1 
 Title "USCITA " 
 Item "Fine ",usc 
 EndTBar 

 Lbl ital 
 mmital() 
 Goto graf1 

 Lbl franc 
 ammfranc() 
 Goto graf1 
             

 Lbl amer 
 mamer() 
 lbl amer2 
 Toolbar 
 Title "TABELLA" 
 Item "AMMORT",amm1 
 Title "GRAFICI" 
 Item "RATA",rat1 
 Item "QUOTA INT MUTUO",mut 
 Item "QUOTA FONDO",fon 
 grafrata() 
 Goto graf1 

 Item "QUOTA INT FON-DO",foint 
 Item "FONDO COSTIT",cost 
 Title "USCITA" 
 Item "Fine",usc 
 EndTBar 

 Lbl amm1 
 tabamm(n) 
 Goto amer2 

 Lbl rat1 
 PlotsOff 
 FnOff 
 grafrat1(n) 
 Goto amer2 
             

Lbl mut 
 PlotsOff 
 FnOff 
 grafquo(n) 
 Goto amer2 
             

Lbl fon 
 PlotsOff 
 FnOff 
 grafrat2(n) 
 Goto amer2 

Lbl foint 
 PlotsOff 
 Lbl cap 
 PlotsOff 
 FnOff 

FnOff 
 raffoin(n) 
 Goto amer2 

 Lbl cost 
 PlotsOff 
 FnOff 
 graffond(n) 
 Goto amer2 

 Lbl graf1 
 Toolbar 
 Title "TABELLA" 
 Item "AMMORT",amm 
 Title "GRAFICI" 
 Item "RATA",rat 
 Item "QUOTA CAP",cap 
 Item "QUOTA INT",inte 
 Item "DEBIT EST",est 
 Item "DEBIT RES",res 
 Title "USCITA" 
 Item "Fine",usc 
 EndTBar 

 Lbl amm 
 tabamm(n) 
 Goto graf1 
             

Lbl rat 
 PlotsOff 
 FnOff 
 grafqcap(n) 
 Goto graf1 

Lbl inte 
 PlotsOff 
 FnOff 
 grafqint(n) 
 Goto graf1 
 Lbl est 
 PlotsOff 
 FnOff 
 grafesti(n) 
 Goto graf1 
 Lbl res 
 PlotsOff 
 FnOff 
 grafresi(n) 
 Goto graf1 

 Lbl usc 
 setMode("Split 1 App","Home") 
 ClrHome 
 setMode("Split 1 App","Graph") 
 ClrGraph 
 PlotsOff 
 FnOff 
 setMode("Split 1 App","Home") 
 ClrIO 
 setMode("Split 1 App","Home") 
 EndPrgm 

In scelta() si possono riconoscere 3 fasi importanti: intitolazione e scelta del tipo di ammortamento, calcolo degli elementi dell'ammortamento e visualizzazione degli stessi, oltre ad una fase di chiusura in cui vengono risetati tutti gli ambienti.
La scelta dell'ammortamento richiama il relativo sottoprogramma in cui vengono calcolati tutti gli elementi del piano.

 Prgm 
 DelVar j,n,amm,i,rata,inte 
 DelVar cap,est,res 
             

ClrIO 
 0!rata 
 Disp "AMMORTAMENTO ITALIANO" 

 Dialog 
 Title "inserire il valore del capitale" 
 Request "capitale",amm1 
 EndDlog 
 expr(amm1) !amm 

 Dialog 
 Title "inserire il tasso di interesse" 
 Request "interesse",i1 
 EndDlog 
 expr(i1) !i 
             

 Dialog 
 Title "inserire il numero dei periodi" 
 Request "periodi",n1 
 EndDlog 
 expr(n1) !n 
             

azzer(n) 
 elemit(amm,i,n) 
 tabfra(n) 

 EndPrgm 

Prgm 
 DelVar j,n,amm,i,rata,inte 
 DelVar cap,est,res 
             

Local cercar 
 Define cercar(amm,i,n)=Prgm 
 amm*i/(1-e^(­n*ln(1+i))) !rata 
 EndPrgm 

 ClrIO 
 0!rata 
 Disp "AMMORTAMENTO FRANCESE" 

 Dialog 
 Title "inserire il valore del capitale" 
 Request "capitale",amm1 
 EndDlog 
 expr(amm1)! amm 

 Dialog 
 Title "inserire il tasso di interesse" 
 Request "interesse",i1 
 EndDlog 
 expr(i1) !i 

 Dialog 
 Title "inserire il numero dei periodi" 
 Request "periodi",n1 
 EndDlog 
 expr(n1) !n 

 azzer(n) 
 cercar(amm,i,n) 
 elemtab(amm,i,n) 
 tabfra(n) 

 EndPrgm 

 Prgm 
 DelVar j,n,amm,i,rata,inte 
 DelVar cap,est,res,itf 
 Local cercar 
 Define cercar(amm,itf,n)=Prgm 
 amm*itf/(e^(n*ln(1+itf))-1) !rata 
 EndPrgm 

 ClrIO 
 0 !rata 
 Disp "AMMORTAMENTO AMERICANO" 
             

Dialog 
 Title "inserire il valore del capitale" 
 Request "capitale",amm1 
 EndDlog 
 expr(amm1) ! amm 

 Dialog 
 Title "inserire tasso interesse mutuo" 
 Request "interesse",i1 
 EndDlog 
 expr(i1) !i 

 Dialog 
 Title "inserire tasso interesse fondo" 
 Request "interesse",i2 
 EndDlog 
 expr(i2) ! itf 

 Dialog 
 Title "inserire il numero dei periodi" 
 Request "periodi",n1 
 EndDlog 
 expr(n1) !n 

 azzerm(n) 
 cercar(amm,itf,n) 
 elemam(amm,i,itf,n) 
 tabam(n) 
             

 EndPrgm 

In questi tre listati si riconoscono delle parti comuni, relative all'introduzione dei dati e nella parte finale la chiamata ad altri sottoprogrammi. Nel listato riguardante l'ammortamento francese e quello americano si è fatto ricorso ad un sottoprogramma locale cercar in cui si calcolano i valori delle rispettive rate che sono elementi costanti.
Gli altri sottoprogrammi utilizzati sono
azzeramento di tutte le variabili:

azzer(n) 
        		Prgm 
        		For j,1,n+1 
        		0!rata1[j] 
        		0 !inte[j] 
        		0 !cap[j] 
        		0 !est[j] 
        		0 !res[j] 
        		EndFor 
        		seq(j-1,j,1,n+1)!l1 
        		EndPrgm 

La ricerca degli elementi della generica riga del piano d'ammortamento

Italiano 

elemit(amm,i,n) 
 Prgm 
 amm/n!quota 
 For j,2,n+1 
 quota !cap[j] 
 EndFor 
 For jriga,1,n 
 amm-est[jriga]!res[jriga] 
 res[jriga]*i !inte[jriga+1] 
 quota+inte[jriga+1] 
 !rata1[jriga+1] 
 est[jriga]+cap[jriga+1]!est[jriga+1] 
 EndFor 
 EndPrgm 

Francese 

elemtab(amm,i,n) 
 Prgm 
 For j,2,n+1 
 rata !rata1[j] 
 EndFor 
 For jriga,1,n 
 amm-est[jriga] !res[jriga] 
 res[jriga]*i!inte[jriga+1] 
 rata-inte[jriga+1] !cap[jriga+1] 
 est[jriga]+cap[jriga+1] 
 !est[jriga+1] 
 EndFor 
 EndPrgm 

Americano 

elemam(amm,i,itf,n) 
 Prgm 
 amm*i !quotain 
 0 !fondo[1] 
 For j,2,n+1 
 rata+quotain!rata1[j] 
 EndFor 
 For jriga,2,n+1 
 rata!rata2[jriga] 
 quotain!quota1[jriga] 
 fondo[jriga-1]*itf !inte[jriga] 
 fondo[jriga-1]+rata +inte[jriga] !fondo[jriga] 
 EndFor 
 EndPrgm 

Nei tre sottoprogrammi precedenti è possibile notare le caratterstiche peculiari di ogni ammortamento: in quello italiano la quota costante di capitale: amm/n! quota, dove amm rappresenta l'intero ammontare del prestito, n la sua durata e quot è la variabile in cui è memorizzata la quota di capitale.
Per quello francese, dopo aver ricordato che la rata costante è calcolata nel sottoprogramma cercar :
amm*i/(1-e^(­n*ln(1+i))) ! rata, con le solite precedenti convenzioni a cui aggiungere rata che rappresenta la rata di ammortamento ed i il tasso, si nota che l'ammontare della quota capitale è calcolata mediante la differenza tra la rata e l'interesse inte sul debito residuo res dell'anno precedente, mentre tale quota viene poi aggiunta al debito estinto est del periodo precedente.
Per l'ultimo tipo di ammortamento si nota che la rata calcolata in cercar rata è costante ed è quella necessaria per la costituzione del fondo: amm*itf/(e^(n*ln(1+itf))-1) ! rata in cui itf rappresenta il tasso d'interesse per la costituzione del capitale. Da rilevare rata1 rappresenta la rata complessiva messa al servizio del prestito. La variabile rata2 è una variabile di servizio ed è uguale a rata.
I sottoprogrammi tabfra, per gli ammortamenti italiano e francese, e tabam, per quello americano, servono per costruire il piano di ammortamento che poi viene aperto in modalità Matrix, Data editor dal sottoprogramma tabamm

tabfra(n) 
 Prgm 
 seq(rata1[j],j,1,n+1)! l2 
 seq(cap[jriga],jriga,1,n+1)! l3 
 seq(inte[jriga],jriga,1,n+1)! l41 
 seq(est[jriga],jriga,1,n+1)! l5 
 seq(res[jriga],jriga,1,n+1)! l6 
 NewData fran,l1,l2,l3,l41,l5,l6 
 EndPrgm. 

tabam(n) 
 Prgm 
 seq(rata1[j],j,1,n+1)! la2 
 seq(quota1[jriga],jriga,1,n+1)! la3 
 seq(rata2[jriga],jriga,1,n+1)! la4 
 seq(inte[jriga],jriga,1,n+1)! la5 
 seq(fondo[jriga],jriga,1,n+1)! la6 
 NewData amer,l1,la2,la3,la4,la5,la6 
 EndPrgm 

tabamm(n) 
 Prgm 
 setMode("Split1App","Data/Matrix Editor") 
 Pause 
 EndPrgm 

Dalla lettura delle istruzioni si comprende che i piani di ammortamento sono costruiti immettendo ogni elemento in una colonna di tabella Dati iniziando dal numero di periodi.
A questo punto non resta che introdurre l'ultima parte riguardante la costruzione dei grafici.
Tutti i grafici vengono costruiti mediante l'istruzione NewPlot n,tipo,xlista,ylista,,,,segno, dove
n = il numero del diagramma,
tipo = rappresenta un diagramma del tipoxy
xlista = la lista che sta in ascissa (sempre il numero dei periodi)
ylista = la lista che viene rappresentata in ordinata (ad esempio quota capitale, rata….)
segno = specifica il segno che viene visualizzato.Di seguito vengono forniti in successioni i listati dei sottoprogrammi per la rappresentazione grafica del valore della

grafrata() 
 	Prgm 
 	0! ymin 
 	rata! ymax 
 	NewPlot 1,2,l1,l2,,,,2 
 	ZoomData 
 	PxlText "rata",1,0 
 	PxlText "periodi",80,195 
 	Pause 
 	EndPrgm 

grafqcap(n) 
 	Prgm 
 	0 ! ymin 
 	cap[n+1] ! ymax 
 	NewPlot 2,2,l1,l3,,,,1 
 	ZoomData 
 	PxlText "quot cap",1,0 
 	PxlText "periodi",80,195 
 	Pause 
 	EndPrgm 

grafqint(n) 
 	Prgm 
 	inte[n+1]! ymin 
 	inte[2]! ymax 
 	NewPlot 3,2,l1,l41,,,,3 
 	ZoomData 
 	PxlText "quot int",1,0 
 	PxlText "periodi",90,195 
 	Pause 
 	EndPrgm 

grafesti(n) 
 	Prgm 
 	est[1]! ymin 
 	est[n+1]! ymax 
 	NewPlot 4,2,l1,l5,,,,4 
 	ZoomData 
 	PxlText "estin",1,0 
 	PxlText "periodi",80,195 
 	Pause 
 	EndPrgm 

grafresi(n) 
 	Prgm 
 	res[1]! ymax 
 	res[n+1]! ymin 
 	NewPlot 5,2,l1,l6,,,,5 
 	ZoomData 
 	PxlText "resid",1,0 
 	PxlText "periodi",95,195 
 	Pause 
 	EndPrgm 

grafrat1 (n) 
 Prgm 
 0! ymin 
 rata1[n+1]! ymax 
 NewPlot 1,2,l1,la2,,,,2 
 ZoomData 
 PxlText "rata compl",1,0 
 PxlText "periodi",80,195 
 Pause 
 EndPrgm 

grafquo (n) 
 	Prgm 
 	0! ymin 
 	quota1[n+1]! ymax 
 	NewPlot 2,2,l1,la3,,,,1 
 	ZoomData 
 	PxlText "int mutuo",1,0 
 	PxlText "periodi",80,195 
 	Pause 
 	EndPrgm 

grafrat2 (n) 
 	Prgm 
 	0! ymin 
 	rata2[n+1]! ymax 
 	NewPlot 1,2,l1,la4,,,,2 
 	ZoomData 
 	PxlText "rata fondo",1,0 
 	PxlText "periodi",80,195 
 	Pause 
 	EndPrgm 

graffoin (n) 
 	Prgm 
 	inte[n+1]! ymin 
 	inte[2]! ymax 
 	NewPlot 3,2,l1,la5,,,,3 
 	ZoomData 
 	PxlText "int fondo",1,0 
 	PxlText "periodi",80,195 
 	Pause 
 	EndPrgm 

graffond (n) 
 Prgm 
 fondo[1]! ymin 
 fondo[n+1]! ymax 
 NewPlot 4,2,l1,la6,,,,4 
 ZoomData 
 PxlText "fondo cost",1,0 
 PxlText "periodi",80,195 
 Pause 
 EndPrgm 

Commenti sull'argomento

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Commento inviato da maria arnone il 16/02/2009 alle 11:14

E' un bel programma, ma nn riesco a scaricarlo. Mi dic e che ci sono dei problemi. Grazie Maria

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