Cartesio

La didattica con le calcolatrici

Matematica finanziaria e Statistica

Unità didattiche

La legge empirica del caso

di Aurelia Orlandoni

Premessa per l'insegnante
Lo scopo di questa unità didattica è mostrare come l'uso di una calcolatrice grafica (in particolare la TI83PLUS) possa consentire di costruire simulazioni in modo immediato e di analizzare i dati di una simulazione costruendo brevi programmi. Gli aspetti teorici sono ridotti, quasi sempre, a semplici enunciazioni, lasciando i necessari chiarimenti e gli eventuali approfondimenti all'insegnante.

Obiettivi:

- Effettuare una stima frequentista della probabilità di un evento attraverso simulazioni ripetute del lancio di una moneta
- Costruire istogrammi di frequenza relativi alle simulazioni
- Comprendere il significato della legge empirica del caso
- Costruire semplici programmi con la TI83PLUS
- "sfatare" la credenza che i "numeri in ritardo" abbiano maggior probabilità di essere estratti

Prerequisiti:

- Concetto di probabilità classica (o probabilità a priori)
- Concetto di frequenza assoluta e relativa
- Rappresentazione di dati tramite istogrammi
- Elementi fondamentali di programmazione: assegnazione, selezione e ciclo

Sviluppo dell'unità

I Parte
Per cominciare enunciamo la legge empirica del caso : " In una serie di prove ripetute nelle medesime condizioni, al crescere del numero n delle prove, la frequenza relativa di un evento tende a coincidere con la sua probabilità "

L'enunciato precedente stabilisce una stretta connessione tra probabilità calcolata a priori e probabilità stimata a posteriori. Quindi si può considerare la frequenza come stima della probabilità di un evento (probabilità frequentista).
Vale la pena di ricordare che la definizione di probabilità classica è stata formulata da Laplace nel 1800 e quella frequentista da Von Mises agli inizi del 1900.
Laplace diede una prima formulazione scientificamente accettabile della teoria della probabilità. Egli definì la probabilità di un evento come il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell'evento considerato ed il numero dei casi possibili.
La validità di questa definizione è legata alla clausola "casi ugualmente possibili" cioè tali che possano essere ugualmente incerti circa la loro esistenza: non sussistono ragioni per credere che se ne verificherà uno piuttosto che un altro. Questa definizione permette una trattazione semplice, ma manca di generalizzazione in quanto considera "casi ugualmente possibili".
Von Mises sostenne che per probabilità del verificarsi di un certo evento in una successione casuale di eventi simili e ripetibili doveva intendersi il limite al quale tende la frequenza relativa di quell'evento quando il numero dei termini della successione cresce indefinitamente, ovviamente in casi in cui questo limite esiste.
Questa definizione ha un carattere di generalità maggiore della precedente, anche se non viene superata l'insufficienza logica. Infatti non possiamo affermare che il limite si presenterà con certezza, ma con grande probabilità.

Nella prima parte di questa unità didattica utilizzeremo la TI83 per simulare il lancio di una moneta, utilizzando la funzione interna randInt che permette di costruire una sequenza di numeri casuali interi. La sua sintassi è randInt (valore minimo, valore massimo, numero totale di elementi). Se non si indica il terzo elemento, viene considerato 1. Quindi l'istruzione randInt(0,1,10) costruisce una sequenza di 10 numeri interi casuali compresi fra 0 e 1.

Cominciamo col verificare la legge empirica del caso. Per fare questo possiamo ripetere più volte la simulazione del lancio di una moneta e rappresentare i dati ottenuti in un istogramma. Il valore 0 rappresenterà la faccia testa e il valore 1 la faccia croce

Premere PRB 5, randInt(0,1,10) per simulare 10 lanci e ottenere la simulazione di 10 lanci di una moneta (schermata 1 e 2).

(1)

(2)

Per potere analizzare meglio i dati ottenuti, può essere conveniente memorizzare la sequenza in una lista, che possiamo chiamare "lanci": PRB 5, randInt(0,1,10) lanci. Per visualizzare in tabella la lista lanci, premere 1 (Edit) posizionarsi nell'intestazione di una colonna e selezionare lanci. I risultati di queste operazioni vengono mostrati nelle schermate 3 e 4.

(3)

(4)

La lista è, ovviamente, diversa dalla precedente, in quanto è il risultato di una nuova simulazione. Adesso possiamo procedere alla rappresentazione in un istogramma. La sequenza ci consente di entrare nel menu dei grafici e di selezionare, ad esempio 3 per attivare Plot3 come indicato nelle schermata 5 (verificare che gli altri grafici siano in posizione Off). Per una corretta visione dell'istogramma premere e porre Xmin = 0, Xmax = 2, Xscl =1, poi premere per ottenere la schermata 6.

(5)

(6)

Abbiamo ottenuto esattamente 5 teste e 5 croci, caso praticamente irripetibile su un numero tanto esiguo di lanci! E' opportuno aumentare il numero di lanci e ripetere diverse volte la simulazione. Seguendo la stessa procedura possiamo ripetere le simulazioni per 50, 60,..., 100,...750 (in quest'ultimo caso il tempo impiegato dalla TI83 è di circa 30 secondi, ma oltre questo valore si rischia la segnalazione di errore di memoria!). Per visualizzare l'istogramma bisogna modificare opportunamente il valore di Ymax in. La schermata 7 riporta una simulazione relativa a 750 lanci col valore Ymax = 700.

(7)

La ripetizione della simulazione, utilizzando un numero abbastanza alto di lanci permette di verificare che effettivamente esiste una tendenza ad ottenere 50% di teste e 50% di croci, come previsto dalla probabilità classica per il lancio di una moneta regolare, anche se con evidenti oscillazioni.

II Parte
Il procedimento seguito finora ci ha costretto a ripetere ogni volta la stessa sequenza di operazioni. Nella TI83 è implementato un linguaggio di programmazione che utilizzeremo proprio per potere ottenere in modo più immediato le simulazioni.

La legge empirica del caso, scritta all'inizio, merita un'ulteriore riflessione. Infatti l'espressione tende, contenuta al suo interno, deve essere intesa nel senso che, all'aumentare di n, aumenta la probabilità che la differenza fra probabilità a priori e frequenza sia nulla, ma non significa affatto che, ad esempio, dopo 20 teste successive sia maggiore del 50% la probabilità che esca croce! La probabilità di ogni singolo evento resta sempre la stessa e quindi "il caso non ha memoria". Questo fatto non è accettato così facilmente dagli studenti, come d'altra parte neppure dagli adulti, se è vero che le puntate sui "numeri in ritardo" al gioco del lotto o alla roulette sono sempre molto forti e da molti giustificate proprio citando impropriamente la legge empirica del caso.
L'obiettivo di questa seconda parte è proprio quello di sfatare questa credenza.
A questo scopo simuleremo il lancio ripetuto di una moneta, e costruiremo un programma che analizzi la sequenza ottenuta e calcoli la frequenza di testa e di croce dopo un numero prefissato di teste successive.
Cominciamo col descrivere le caratteristiche del programma che vogliamo costruire:
1. leggere il numero di lanci che si vuole simulare
2. costruire una sequenza casuale di 0, 1 e memorizzarla in una lista
3. costruire un ciclo che analizzi tutti i valori della lista e che, quando trova due 0 consecutivi, analizzi il termine successivo, incrementando il contatore di teste o quello di croci secondo il valore letto.
4. calcolare la percentuale di teste e quella di croci, visualizzarle
5. costruire l'istogramma delle frequenze assolute di teste e croci

Per entrare nell'ambiente di programmazione, premere, poi NEW per assegnare un nome e scrivere un nuovo programma. Il nome di un programma può essere lungo da 1 a 8 caratteri, il primo dei quali deve necessariamente essere una lettera.
Una volta entrati nell'ambiente di programmazione si può osservare che ogni linea del programma inizia con il carattere ":", che rappresenta un delimitatore di istruzioni e che può essere utilizzato anche per separare più istruzioni sulla stessa linea.
Digitando il tasto dall'ambiente di programmazione si accede ad un menu contenente tre voci: CTL (controllo), I/O (Input/Output), EXEC (esegui), ciascuna delle quali contiene istruzioni che è possibile incollare direttamente nel programma.
Di seguito è riportato il programma, affiancato da una sommaria descrizione, rinviando al manuale per una più puntuale conoscenza del linguaggio di programmazione e della sua sintassi.

PROGRAM:TESTA	nome del programma
:Prompt N	chiede l'immissione del valore N
:0 T :0 C	inizializza le variabili T e C ( si ottiene col tasto)
:randInt(0,1,N) L1	costruisce la sequenza di numeri casuali in L1
:Disp "SEQ=", L1	scrive sullo schermo la sequenza ottenuta
:For(I,1,N-2)	inizia il ciclo di analisi della lista
:If L1 (I)=0 and L1 (I+1)=0:Then If L1 (I+2)=0: Then:T+1 T :Else:C+1 C:End:End	se due termini consecutivi sono = 0, legge il terzo e incrementa T o C secondo il valore letto
:End	termina il ciclo
:{T,C} FREQ	Inserisce nelle lista FREQ i valori di T e C
:{0,1} L2	Inserisce nella lista L2 i valori 0,1
:Disp "TESTE=",T/(T+C)*100 :Disp "CROCI=",C/(T+C)*100	scrive sullo schermo la frequenza percentuale di T e C
:Pause	resta in attesa che venga premuto
:Plot1(Histogram, L2,FREQ)	attiva il Plot1
:prgmWINDOW	esegue il programma WINDOW (v. sotto)
:DispGraph	mostra l'istogramma

Il programma WINDOW, la cui esecuzione viene richiamata all'interno del programma precedente ha lo scopo di dimensionare la finestra grafica in modo da ottenere una buona visualizzazione.

PROGRAM WINDOW
:0 Xmin
:2 Xmax
:1 Xscl
:50 Ymax

Analizziamo i risultati ottenuti simulando 100, 200 e 300 lanci ( schermate 8, 9, 10, 11, 12 e 13), osservando che i calcoli vengono eseguiti rapidamente anche nel caso di 300 lanci.

(8)	(9)
(10)	(11)
(12)	(13)

E' chiaro che le simulazioni vanno ripetute più volte e l'analisi andrebbe fatta sui valori successivi a sequenze più lunghe di due teste, ma già questi risultati confutano la credenza sulla quale si basano coloro che giocano i "numeri in ritardo". Infatti, anche se questo è del tutto casuale, nel caso di 300 lanci il numero di teste uscite dopo due teste è 43, contro 39 croci.

Possiamo concludere ricordando che operare simulazioni di questo genere è praticamente impossibile a mano, mentre in questo modo migliora l'apprendimento dei concetti legati alla probabilità con un limitato dispendio di tempo, suscitando anche un maggiore interesse da parte degli allievi.

 

 

© 1997-2004 Cartesio On Line - Tutti i diritti riservati | XHTML 1.0 | CSS/2 | ^ Inizio pagina