Cartesio
La didattica con le calcolatrici
Matematica finanziaria e Statistica
Unità didattiche
Regressione e correlazione per le distribuzioni doppie di frequenze 
di Rocco Fazio
Obiettivo : studio della regressione e della correlazione per variabili statistiche di cui sia nota la distribuzione doppia di frequenze.
Prerequisiti
- variabili statistiche;
- geometria analitica della retta;
- statistica descrittiva univariata;
- regressione a minimi quadrati.
Sviluppo dell'unità.
Se i dati rilevati delle variabili statistiche X ed Y sono espressi mediante una tabella a doppia entrata, detto 
il numero delle unità (frequenze) che presentano contemporaneamente le modalità 
ed, si può rappresentare la situazione con lo schema seguente:
I numeri 
e 
sono i totali, rispettivamente, della riga i -esima e della colonna k -esima e indicano quante unità della popolazione rilevata hanno valore e quante valore.
Associando i totali 
ai valori e i totali 
ai valori 
si ottengono due distribuzioni a semplice entrata, dette distribuzioni marginali.
Riferiamo, per comodità, il nostro studio ad un esempio: la seguente tabella mostra infatti la distribuzione dei voti in italiano e in matematica degli allievi di quattro classi di un liceo scientifico:
Voto in matematica Voto in italiano |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Totali |
3 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
4 |
1 |
2 |
2 |
2 |
0 |
0 |
0 |
7 |
5 |
1 |
3 |
4 |
6 |
2 |
0 |
0 |
16 |
6 |
1 |
4 |
10 |
25 |
8 |
1 |
0 |
49 |
7 |
0 |
0 |
1 |
5 |
10 |
4 |
1 |
21 |
8 |
0 |
0 |
0 |
2 |
5 |
3 |
2 |
12 |
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
Totali |
4 |
11 |
18 |
40 |
26 |
8 |
4 |
11 |
Assegniamo i valori delle agli elementi della lista datix e quelli delle agli elementi della lista datiy :
Utilizziamo l'ambiente DATA/MATRIX EDITOR per riempire la matrice matfreq[i,k] con le frequenze :
Inseriamo i valori delle distribuzioni marginali e nelle liste xmarg ed ymarg :
Calcoliamo ora i valori medi di x e di y; per farlo realizziamo la funzione medpes che calcola la media pesata di un insieme di valori e che può essere utile in molte occasioni:
medpes(valori,pesi)
Func
(valori[i]*pesi[i],i,1,dim(pesi))/( (pesi[i],i,1,dim(pesi)))
EndFunc
Si noti l'uso del comando dim, che fornisce le dimensioni di una lista o di una matrice.
Occorre adesso determinare le distribuzioni delle medie condizionate 
e, ottenute facendo corrispondere ad ogni valore di X il valore medio pesato 
() e ad ogni valore il valore medio pesato 
().
Allo scopo si modifica la funzione medpes in modo tale da fornire la lista dei valori medi ponderati delle x e delle y :
medpes1(mat,val,tot,variab)
Func
Local mmp,i,k
If variab="x" Then
For k,1,dim(tot)
(val[i]*mat[i,k],i,1,dim(val))/(tot[k]) 
mmp[k]
EndFor
Else
For i,1,dim(tot)
(val[k]*mat[i,k],k,1,dim(val))/(tot[i]) mmp[i]
EndFor
EndIf
Return mmp
EndFunc
Ecco la relativa schermata ottenuta con la TI 92:
La rappresentazione grafica delle due distribuzioni delle medie pesate si può realizzare definendo innanzitutto le due distribuzioni nell'ambiente Data/Matrix Editor:
e tracciando poi il grafico delle spezzate che costituiscono le due linee di regressione:
Le due rette di regressione hanno equazioni:
ed i coefficienti di regressione si possono esprimere in funzione dei dati iniziali, in modo da ridurre al minimo gli errori di arrotondamento che in questi casi diventano particolarmente pesanti:
L'implementazione delle formule precedenti è realizzato con la funzione coreg, che calcola le equazioni delle due rette di regressione:
coreg(xx,yy,mat,variab)
Func
Local i,k,xm,ym,tot,totx,toty,b
dmargx(mat) totx:dmargy(mat) toty
medpes(xx,totx) xm:medpes(yy,toty) ym:sum(totx) tot
If variab="x" Then
( (xx[i]*yy[k]*mat[i,k],k,1,dim(yy)),i,1,dim(xx))- tot*xm*ym)/( (xx[i]^2*totx[i], i, 1, dim(xx))-tot*xm^2) b
Return {expand(y-ym=b*(x-xm)),b}
Else
( ( (xx[i]*yy[k]*mat[i,k],k,1,dim(yy)),i,1,dim(xx))-tot*xm*ym)/( (yy[k]^2*toty[k], k, 1, dim(yy))-tot*ym^2) b
Return {expand(x-xm=b*(y-ym)),b}
EndIf
EndFunc
Si possono quindi determinare le equazioni delle due rette e i relativi coefficienti:
I grafici delle rette di regressione si possono sovrapporre a quelli delle linee di regressione ottenendo una stima "ad occhio" dell'adattamento delle rette ai dati:
Individuiamo infine gli altri elementi che consentono di completare l'analisi della dipendenza, ossia:
- il coefficiente di correlazione lineare di Bravais-Pearson 
(il segno è "+" o "-" a seconda che i due coefficienti - che hanno sempre lo stesso segno - siano entrambi positivi o negativi);
- il coefficiente di determinazione.
Possiamo anche verificare che le due rette si intersecano nel baricentro della distribuzione utilizzando lo strumento Math/Intersection fornito dalla calcolatrice.
Dai calcoli si ottiene per r il valore di 0.6652, che indica una discreta correlazione lineare fra il voto di italiano e quello di matematica, mentre il coefficiente di determinazione 
risulta uguale a 0.4452.
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