Cartesio
La didattica con le calcolatrici
Matematica finanziaria e Statistica
Esercizi svolti
Il problema dei compleanni
Problema
Gli studenti della classe 5^ D di un liceo scientifico sono 22; calcolare la probabilità che 2 di essi compiano il compleanno nello stesso giorno. Fare lo stesso calcolo per gli alunni della 5^ C, che sono 28.
Nel calcolo delle probabilità si incontrano talvolta dei problemi la cui soluzione non è in accordo con l'intuizione; il problema dei compleanni ne costituisce un classico esempio.
Risoluzione
Per non complicarci la vita decidiamo di non considerare il problema degli anni bisestili.
Detto 
l'evento: "almeno due studenti compiono il compleanno nello stesso giorno", il problema si risolve facilmente calcolando la probabilità dell'evento contrario 
: "tutti gli studenti compiono il compleanno in giorni diversi".
Il calcolo di 
si può operare mediante la definizione classica di probabilità, ossia determinando il rapporto fra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili (considerati "ugualmente possibili" – non vogliamo riaprire una vecchia e risolta disputa); i primi sono costituiti dal numero 
delle disposizioni semplici dei 365 diversi giorni dell'anno presi a gruppi di 22, mentre i secondi sono dati dalle disposizioni con ripetizione 
dei 365 diversi giorni dell'anno presi a gruppi di 22. In sostanza risulta
e pertanto
.
Facciamo fare i conti alla TI 92 ricordando che il calcolo di si ottiene utilizzando la funzione predefinita nPr() :
Il valore trovato sembra piuttosto alto: non è molto lontano dal 50%. Facciamo il calcolo per 28 studenti:
Il valore della probabilità ha subito un'impennata di circa il 20% per un aumento di soli 6 studenti: ci viene voglia di saperne di più e perciò decidiamo di rappresentare con un grafico l'andamento della probabilità al variare del numero degli studenti.
Allo scopo costruiamo la funzione prob:
prob(k)
Func
1-nPr(365,k)/365^k
EndFunc
Creiamo un nuovo file di dati in DATA/MATRIX EDITOR
definiamo le colonne facendo tabulare i valori della probabilità ogni 5 studenti a partire da 10 e fino a 100:
Infine definiamo un nuovo grafico con F2-PLOT SETUP:
scegliamo una finestra di visualizzazione adatta
visualizziamo il grafico
e scopriamo che già con 50 studenti la probabilità supera il 97%! L'intuito qualche volta può anche sbagliare (per fortuna).
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