Cartesio

La didattica con le calcolatrici

Algebra

Unità didattiche

Problemi lineari - Parte Prima: Problemi di scelta

di Sebastiano Cappuccio

Premessa per l'insegnante

Un importante argomento "trasversale" nell'insegnamento dell'algebra e della matematica in genere è quello del "problem solving" e in particolare quello della modellizzazione: la traduzione di una situazione problematica in un opportuno modello matematico è il primo e forse il più importante passo verso la sua soluzione.
A ciò si aggiunge una importante questione dell'insegnamento della matematica: quello della motivazione. Di fronte agli argomenti dell'algebra normalmente trattati nel biennio della scuola secondaria quanti dei nostri alunni si chiedono "ma a cosa serve tutta questa roba?". Gli studenti hanno però imparato a porre raramente questa domanda in modo diretto, sapendo che la risposta dell'insegnante è normalmente vaga o, per loro, poco convincente e di solito rimanda agli anni successivi: fa ormai parte del contratto didattico fare ciò che dice l'insegnante senza chiedere motivazioni.
In effetti è difficile rispondere a questa domanda in modo breve e convincente e non è una buona risposta dire che le applicazioni non interessano al matematico: interessano eccome; quanti importanti capitoli della matematica sono nati proprio dallo stimolo di problemi posti dalle altre scienze e dalla cosiddetta "vita reale"?
Forse la migliore risposta è quella di offrire delle applicazioni semplici ma significative; di solito basta questo, in attesa che la curiosità, il desiderio di conoscere fine a sé stesso, che pure è fondamentale, si faccia strada negli alunni (e ciò avviene più spesso di quanto a volte si creda).

In queste due unità didattiche vedremo due utili applicazioni dell'algebra che possiamo chiamare: Problemi di scelta e Problemi di ottimizzazione lineare.

Prerequisiti

Saper risolvere una equazione e un sistema di equazioni di primo grado, saper rappresentare una equazione lineare nel piano cartesiano. Avere qualche nozione, anche non troppo approfondita, del concetto di funzione.
Per quanto riguarda la conoscenza operativa della calcolatrice, si suppone che lo studente sappia già eseguire calcoli (in particolare risolvere equazioni e sistemi lineari) nell'ambiente Home, anche se in questa Unità ci sarà qualche richiamo, che sappia definire funzioni nell'ambiente Y=Editor e rappresentarle graficamente nell'ambiente Graph, modificando se necessario la scala.

Nota: in questa Unità si suppone di operare con la calcolatrice TI-89 (con la quale sono state costruite tutte le schermate che appaiono in questo documento) ovvero con l'equivalente TI-92 Plus; talvolta, nei rari casi in cui i comandi si differenziano, sarà anche indicata la procedura d'uso della TI-92.

SCHEDA PER LA VERIFICA DEI PREREQUISITI SULLE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO 1) Scrivi una equazione lineare (di primo grado) nell'incognita x:................................................................................................................................................ 2) Risolvi le seguenti equazioni lineari: 2x + 4 = 0:.............................................................................................................................. 3x - 15 = 0:............................................................................................................................. 4 - 7x = 0:............................................................................................................................... 8 = 12 x :................................................................................................................................. 6x = 0 :.................................................................................................................................... 3) Ricordando che ogni equazione di primo grado nelle due incognite x e y è esprimibile nella forma (*) ax + by + c = 0 con i coefficienti a, b, c non tutti e tre nulli, scrivi una equazione tipo (*):.................................................................................................................................................. 4) Cosa succederebbe se invece a, b, c fossero tutti e tre nulli?.................................................................................................................................................. 5) Scrivere una equazione del tipo (*) con a 0, b 0 e c = 0.................................................................................................................................................. 6) Risolvi le seguenti equazioni rispetto alla variabile x: 3x - 6y = 0 5x + 4y -3 = 0 2x - 3y +12 = 0 7) Risolvi le seguenti equazioni rispetto alla variabile y: 3x - 6y = 0 5x + 4y -3 = 0 2x - 3y +12 = 0

Nota per l'insegnante

Come si è detto poco sopra, si suppone che tra i prerequisiti ci siano alcune conoscenze di geometria analitica, in particolare sulle equazioni delle rette in forma implicita ed esplicita.
Nella forma esplicita y = mx + q il coefficiente m è spesso chiamato coefficiente angolare. Oggi molti Autori preferiscono usare il termine pendenza, definita come rapporto costante tra ordinata e ascissa dei punti della retta di equazione y = mx. Ciò è giustificato dal fatto che l'angolo che la retta forma con il verso positivo dell'asse delle ascisse dipende dalle unità di misura prescelte sui due assi coordinati. La retta di equazione y = mx + q non è che la y = mx traslata in direzione verticale di q.
Si veda ad esempio qui di seguito il grafico della retta y = 2x rappresentato nello schermo della TI-89 con varie unità di misura per le ascisse e le ordinate:

Passaggio dalla forma implicita alla forma esplicita
La trasformazione dell'equazione ax + by + c = 0 (equazione della retta in forma inplicita) nella equivalente equazione y = mx + q (retta in forma esplicita) è molto facile da realizzare manualmente; vediamo con un esempio come può essere realizzata con la calcolatrice.
1	In ambiente Home portare il cursore nella linea di editing. Viene inserito Solve(, la prima voce del menu Algebra.
3x + 2y - 6 = 0, y)	Digitare l'equazione proposta seguita dall'indicazione della variabile rispetto alla quale si vuole risolvere l'equazione; la parentesi chiude il comando e con il tasto viene mandato in esecuzione. Sulla parte destra dello schermo appare il risultato.
3	Se lo si desidera, si può selezionare la terza voce, expand, del menu Algebra per scrivere il risultato in un'altra forma.

Richiami sulla risoluzione di un sistema lineare con la TI-92
Esistono vari modi per la risoluzione di un sistema lineare con la TI-92: noi qui ne citeremo uno solo. Lavoreremo con un sistema di due equazioni in due incognite ciascuna delle quali nella forma ax + by = c: La TI-92 opera con la matrice dei coefficienti, vale a dire con il riquadro e con il vettore colonna dei termini noti, vale a dire con il vettore. La matrice e il vettore possono essere definiti nell'apposito ambiente Data Matrix Editor oppure direttamente nell'ambiente Home; qui seguiremo questa seconda strada.
simult([1, -2; 1, -1], [-4; -1])	In ambiente Home il comando Simult (m,v) fornisce la soluzione del sistema lineare che ha la matrice dei coefficienti m e il vettore dei termini noti v. Si noti che gli elementi di matrici e vettori vanno racchiusi tra parentesi quadre, separati da virgole e che il punto e virgola separa gli elementi di una riga da quelli della riga sucessiva. Il risultato del sistema (x = 2 e y = 3) appare sotto forma di vettore colonna.

Richiami sulla risoluzione di un sistema lineare con la TI-89/ TI-92 Plus
Anche se il comando Simult funziona anche nella TI-89,il software di questa calcolatrice con-sente anche l'uso del comando Solve:
1 x - 2y = -4 and x - y = -1, {x,y})	In ambiente Home selezionare il comando solve del menu Algebra. Digitare le equazioni del sistema con il connettivo and. E' necessario anche indicare la lista delle variabili, cioè le variabili rispetto alle quali si vuole risolvere il sistema, separate da una virgola e chiuse tra parentesi graffe.

Problemi lineari di scelta

Con il nome di Problemi di scelta raggruppiamo quei problemi nei quali, attraverso una opportuna modellizzazione, decidiamo un tipo di comportamento invece di un altro.
Prenderemo in considerazione solo problemi lineari, cioè risolvibili con equazioni di primo grado.

Vediamo ora un problema di questo tipo (proposto agli studenti in un compito in classe).

Problema 1

Il vostro professore di matematica ha necessità di ormeggiare per un certo periodo di tempo (non superiore ad un mese) il suo panfilo di 18 metri presso un porticciolo della Costa Smeralda gestito da un club nautico. Potrebbe prendere in affitto il posto-barca per l'intero mese pagando 2000 Euro, oppure potrebbe pagare la tariffa di ormeggio di 100 Euro al giorno. Se infine si iscrivesse al club, (tassa di iscrizione: 1.000 Euro) l'ormeggio costerebbe 50 Euro per ogni giorno.
Modellizzare la situazione con un grafico cartesiano e indicare la scelta più conveniente per il vostro professore in relazione alla durata della sua permanenza in Costa Smeralda.

Il primo passo è quello di tradurre le varie possibilità in equazioni, vale a dire creare il modello matematico del problema.
Indicheremo con x il numero dei giorni di permanenza nel porticciolo, con y la spesa sostenuta.

La prima equazione è ovvia: y = 2.000.
La seconda sarà: y = 100 x.
La terza: y = 1.000 + 50 x.

Riportiamo in forma abbreviata i passi da svolgere con la calcolatrice.

Definizione delle funzioni
2	Si accede all'ambiente di definizione delle funzioni Y=Editor e si digitano l'una dopo l'altra le tre funzioni.
3	Si accede all'ambiente Window Editor e si inseriscono i parametri di visualizzazione della finestra di grafica. (1)
4	Si passa all'ambiente di grafica e si visualizzano i grafici delle tre rette
......	Si sposti il cursore grafico con i tasti di movimento cursore fino ad approssimarsi al punto che appare essere in comune alle tre rette. Tale punto sembra essere quello di coordinate (20, 2000). Verificare con carta e penna che tale punto è effettivamente in comune a tutte e tre le rette; tale verifica può anche essere fatta "a macchina" nell'ambiente Home, ma i calcoli sono talmente facili che non ne vale la pena.
Conclusioni: fino a 19 giorni di permanenza è più conveniente la tariffa giornaliera, con esattamente 20 giorni di permanenza le tre tariffe sono indifferenti; se la permanenza è da 21 a 30 giorni conviene la tariffa mensile. (2) L'iscrizione al Club non è in alcun caso la più conveniente.

(1) Nota per l'Insegnante: in questa sede tali valori vengono forniti direttamente; si noti che in realtà dovrà essere lo stu.dente a individuare da solo tali parametri: non è una questione difficile, ma per molti studenti è meno banale di quanto si possa pensare. La "percezione" dei valori più adatti dei parametri della finestra di grafica è un obiettivo secondario ma non per questo poco importante di questo tipo di lavoro e coinvolge parecchie abilità e competenze di geometria analitica.
(2) Nota per l'insegnante: se non si ricorre alla modalità Trace (premendo il tasto) lo studente non ha direttamente la possibilità di riconoscere a quale tariffa corrisponde ciascuna retta, se non usando le sue conoscenze di geometria analitica (retta orizzontale, retta passante per l'origine ecc.)

Quesito aggiuntivo:
Cosa succede se la quota di iscrizione al Club diminuisce a 800 Euro?
Sarà sufficiente modificare la terza funzione: y = 800 + 50x. Si ottiene un nuovo grafico.
Conclusioni: questa volta la tariffa più conveniente risulta essere quella giornaliera, fino a 16 giorni di permanenza, quella con l'iscrizione la club da 16 a 24 giorni, quella fissa mensile da 24 giorni in poi. Vediamo ora un piccolo trucco per visualizzare il grafico corrispondente alla tariffa più conveniente.
2	Si entra nell'ambiente y=Editor e si digita una nuova funzione. Si posiziona il cursore sulla prima funzione "vuota", ad es. y4.
	Si passa alla linea di editing.
min ({ y1 (x), y2 (x), y3 (x)})	Si definisce una nuova funzione che ad x associa la più piccola delle sue immagini rispettivamente attraverso le precedenti funzioni y1, y2, y3. La funzione min può essere digitata direttamente oppure prelevata dal menu [MATH], sottomenu List. Si noti che l'elenco delle funzioni deve essere racchiuso tra parentesi graffe usando la virgola come separatore per indicare che si tratta di una lista.
4	Viene selezionata la voce Thick (ingrossato) del menu Style. Il tasto funzione, che non è direttamente presente nella TI-89,viene attivato premendo in successione i tasti .
4	Si torna all'ambiente di grafica ottenendo il grafico qui a fianco.

Per finire, ecco un altro esercizio da svolgere autonomamente.
Nella sezione Problemi si troveranno altri due esempi svolti.

Problema 2

Un ufficio, per far fronte ad una temporanea necessità, decide di noleggiare per un mese una fotocopiatrice. Vengono prese in esame tre offerte: la prima prevede una spesa di £. 100 a fotocopia, comprendente le spese per la carta e per il toner; la seconda £. 300.000 per il noleggio della macchina più £. 50 per ogni fotocopia; la terza consiste nel pagamento forfettario di £. 800.000 con la condizione che il numero totale delle fotocopie non sia superiore a 10.000.
Modellizzare la situazione con un grafico cartesiano e stabilire la soluzione più conveniente per l'ufficio in relazione al numero di fotocopie che si prevede di effettuare.

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