Cartesio

La didattica con le calcolatrici

Algebra

Unità didattiche

PIGRECO - Storia e mito di un numero antico. Utilizzo della TI-92 per calcolare il rapporto.

Riflessione preliminare

La ricerca storica relativa al, ha fatto conoscere agli alunni il metodo proposto da Archimede nella sua opera "La misura del circolo" : la circonferenza può essere pensata come il contorno di un poligono regolare di infiniti lati, il cerchio come il poligono di infiniti lati.

Sappiamo che congiungendo i punti medi dei lati di un triangolo equilatero si ottiene un altro triangolo equilatero in modo tale che il primo sia circoscritto e il secondo inscritto rispetto alla stessa circonferenza.

Figura 3

La misura della circonferenza o l'area del cerchio soddisfano le disuguaglianze: 2p ABC < misuracfr <2p HKL e Area ABC < areacerchio <Area HKL

Se aumentiamo il numero dei lati del poligono inscritto e di quello circoscritto, le disuguaglianze precedenti permetteranno di restringere l'intervallo in cui cade misuracfr e areacerchio.

Le formule trovate durante la lezione di geometria e quelle ottenute nel compito assegnato a casa permettono di determinare, partendo dalla misura del lato del triangolo equilatero inscritto, la misura del lato del triangolo equilatero circoscritto e di seguito quella dell'esagono inscritto e circoscritto, del dodecagono inscritto e circoscritto, del poligono di 24 lati inscritto e circoscritto, ecc., la misura del perimetro e l'area di ciascun poligono nominato.

Contenuti

• costruzione di un programma che generi la misura del lato del poligono inscritto di 2n lati data la misura del lato del poligono inscritto di n lati
• costruzione di tabelle per la determinazione di

Prerequisiti

• conoscere gli elementi base della programmazione
• conoscere il linguaggio di programmazione della TI-92

Obiettivi

Saper fare

saper usare la struttura del ciclo enumerativo

saper sfruttare risultati ottenuti in un ambiente della TI-92 e passarli ad altro ambiente

Metodologia

Il lavoro si svolge in classe con viewscreen e una calcolatrice per alunno; la costruzione del listato del programma viena fatta precedere dallo studio del problema e dalla sua schematica soluzione attraverso un diagramma a blocchi.

Tempi

Lo svolgimento di tale argomento e' previsto in 3 unità orarie.

Problema 1

Assegnata la misura del lato del triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio unitario, determinare la misura del lato dell'esagono inscritto, del dodecagono e così di seguito.

Osservazione preliminare:
Poiché la formula permette di passare dalla misura del lato del poligono inscritto di n lati a quella del poligono inscritto di 2n lati, la soluzione del problema consiste in una applicazione ripetuta di tale formula sostituendo come dato iniziale il lato appena generato, secondo lo schema:

Figura 4

L'ambiente di programmazione della TI-92 ci permetterà di costruire un programma che generi la misura del lato dei poligoni inscritti richiesti dal testo del problema, per un numero arbitrariamente scelto di iterazioni. (10 nel nostro caso)

Dopo aver accesa la calcolatrice premiamo il tasto e di seguito 7: Program Editor 3: New... : ci troviamo nella situazione illustrata nella figura accanto.	Figura 5
Quando premiamo ¸ compare la seguente videata nella quale inseriremo nella riga Variable il nome che attribuiamo al nostro listato	Figura 5.1

Premiamo il tasto ¸ per due volte; si apre il modello vuoto di un programma nel quale possiamo scrivere le istruzioni per risolvere il nostro problema.

Il listato del programma che genera, a partire da l 3, la misura del lato del poligono inscritto con numero doppio di lati ( da l 3 a l 6, da questo a l 12 fino a l 3072) è riportato di seguito:

osservazioni preliminari:

• nel programma si utilizzano le variabili locali:
  n che controlla il ciclo enumerativo,
  li cui è attribuita la misura del lato iniziale ( l 3),
  lati che conterrà, per ogni n del ciclo, la misura del lato via via generato

: prova() : Prgm : Local n,li,lati --------------------- > variabili locali : ClrIO --------------------------- > pulisce lo schermo : setMode("Exact/Approx","APPROXIMATE") > predispone la TI-92 a lavorare in modo approssimato : 3->li ----------------------- > assegna la misura di ln : Disp li --------------------------- > scrive il valore iniziale : For n,1,10 ------------------------ > inizio del ciclo che genera i lati ((2+li)/2)- ((2-li)/2)->lati[n] Disp lati[n] lati[n]->li : EndFor -------------------------- > fine del ciclo : lati->lista1 -------------------- > costruisce la lista dei lati : Disp lista1 : { 3}->lista2 ----------- > assegna il valore iniziale come elemento di un'altra lista : Disp lista2 : augment(lista2,lista1)->lista3 --- > unisce le due liste : Disp lista3 --------------------- > scrive l'elenco da quello iniziale all'ultimo generato : EndPrgm

Lanciamo il programma, dopo essere tornati in [HOME] con la sequenza di tasti Q, digitando il suo nome nella riga di introduzione

Figura 6

seguito da ; vedremo comparire in basso a destra BUSY, prima di ottenere nello schermo Program I/O il risultato riprodotto nella

Figura 6.1

osservazioni finali:

• nel listato sono inserite istruzioni del tutto inutili all'obiettivo prefissato: esse possono servire per controllare via via l'esattezza della procedura e del linguaggio usato; riportiamo in seguito la stesura più snella, essenziale per il nostro scopo.
• il contatore n del ciclo enumerativo si ferma quando n assume il valore 11: esso può ovviamente essere cambiato a seconda delle nostre esigenze
• lo schermo di output del programma non permette una buona visualizzazione del risultato, né tantomeno una elaborazione di ciò che abbiamo ottenuto

Modifichiamo il listato eliminando le istruzioni che non interessano e,

: prova() : Prgm : Local n,li,lati : ClrIO : setMode("Exact/Approx","APPROXIMATE") : 3->li : For n,1,10 ((2+li)/2)- ((2-li)/2)->lati[n] lati[n]->li : EndFor : lati->lista1 : { 3}->lista2 : augment(lista2,lista1)->lista3 : Disp lista3 : EndPrgm

tornati in [HOME], lanciamo il programma;

ancora il risultato non è leggibile completamente

Figura 7

Per visualizzare tutta la lista delle misure dei lati, in [HOME], digitiamo sulla riga di introduzione lista3 : se scorriamo la lista mediante il cursore tutti i valori sono leggibili, ma ancora non ne possiamo fare un'elaborazione.

Figura 8

Problema 2

Elaborare i risultati ottenuti in modo da costruire, a partire dalla misura del lato del poligono inscritto, quella del lato del poligono circoscritto avente lo stesso numero di lati, il perimetro di ciascun poligono e l'area al fine di dare una valutazione della misura della circonferenza e dell'area del cerchio.

Apriamo una sessione di Data/MatrixEditor: 6 3, compare la seguente finestra nella quale inseriremo il nome del file nella cella denominata Variable

Figura 9

Figura 9.1

Dopo compare il foglio di lavoro nel quale possiamo costruire:

• nella prima colonna la successione del numero dei lati del poligono regolare a partire da 3; questo si realizza con l'istruzione posta nella cella c1
  (attenzione: la sequenza deve rispettare il valore finale di n assegnato nel ciclo for del programma prova())

Figura 10

• nella seconda colonna, che intesteremo "inscritto", si porta il risultato del programma prova() scrivendo nella cella c2 lista3

Figura 10.1

• nella terza colonna, intestata con "circoscritto", facciamo calcolare con la formula, nella quale ln è ciascun elemento della colonna c2, il lato del poligono circoscritto avente lo stesso numero di lati

• nelle colonne successive calcoliamo il perimetro del poligono regolare inscritto e il perimetro del poligono regolare circoscritto

Figura 10.3

Osserviamo con attenzione i valori trovati: nella riga 6 troviamo le misure relative al poligono inscritto e circoscritto di 96 lati; da questo punto in poi notiamo che le prime due cifre decimali si stabilizzano sul 28, la terza cifra decimale risulta uguale per i poligoni di 384 lati e di seguito, fino all'ultimo poligono considerato quello di 3072 lati, notiamo che anche la quarta cifra è identica. Un'esplorazione più accurata, che possiamo fare percorrendo con il cursore le caselle delle due colonne in esame, ci fa capire che i valori non sono proprio uguali; abbiamo infatti:

2p i (3072) = 6.2831842119782 mentre 2p c (3072) = 6.2831874975225

aggiungiamo allora un'ulteriore colonna in cui calcoliamo la differenza tra gli elementi delle colonne c5 e c4:

L'esplorazione dei valori trovati in c6 ci fa capire che la differenza tra il perimetro del poligono circoscritto di n lati e il perimetro del poligono inscritto avente lo stesso numero di lati diminuisce sempre di più all'aumentare di n.

Abbiamo ottenuto che per i poligoni di 1536 lati essa vale

e per quelli di 3072

Figura 10.6

Prima conclusione

I risultati ottenuti nelle colonne c4 e c5 ci permettono di dare una valutazione della misura della circonferenza in quanto abbiamo trovato, all'aumentare del numero di lati, intervalli di ampiezza sempre minore in cui cade misuracfr.
Possiamo valutare la misura della circonferenza nel valore medio tra il perimetro del poligono inscritto di 3072 lati e quello del poligono circoscritto con lo stesso numero di lati. Poniamo quindi: misuracfr = 6.2831858547505 con un errore minore di 10 -6.

Proseguiamo con il calcolo delle aree come richiesto dal problema; le formule che useremo sono dunque quelle calcolate nel compito a casa e precisamente: per il calcolo dell'area del poligono inscritto di n lati e per il calcolo dell'area del poligono circoscritto dello stesso numero di lati. Esse andranno opportunamente modificate come nelle figure seguenti dal momento che in c1 abbiamo il numero dei lati del poligono che vogliamo considerare e in c2 la misura del lato del poligono inscritto con quel numero di lati:

Aggiungiamo un'ulteriore colonna in cui calcoliamo la differenza tra gli elementi delle colonne c8 e c7;

Figura 10.9

L'esplorazione dei valori trovati in c9 ci fa capire che la differenza tra l'area del poligono circoscritto di n lati e quella del poligono inscritto avente lo stesso numero di lati diminuisce sempre di più all'aumentare di n; abbiamo ottenuto che per il poligono di 3072 lati vale:

Figura 10.10

Seconda conclusione

I risultati ottenuti nelle colonne c7 e c8 ci permettono di dare una valutazione dell'area del cerchio in quanto abbiamo trovato, all'aumentare del numero di lati, intervalli di ampiezza sempre minore in cui cade areacerchio.
Leggendo i valori trovati nelle ultime righe della nostra tabella, possiamo valutare l'area come valore medio tra l'area del poligono inscritto di 3072 lati e quella del poligono circoscritto e porre: areacerchio = 3.1415921059896; l'errore che commettiamo è minore di 10 -6.

Esercitazione assegnata come lavoro di gruppo in classe

PROBLEMA 3: Seguite le istruzioni della scheda allegata per modificare il programma prova(), in modo da ottenere 20 misure del lato del poligono regolare inscritto (da l 3 a l 6, a l 12 ecc. fino al poligono di 1572864 lati); ripercorrete la procedura per costruire la tabella in Data/MatrixEditor e traete le vostre conclusioni.

PROBLEMA 4: Come nell'esercizio precedente modificate il programma prova(), inserendo come valore iniziale il lato l 34 e un'altra volta inserendo l 10 ; ripercorrete la procedura per costruire la tabella in Data/MatrixEditor e traete le vostre conclusioni.

SCHEDA DI LAVORO: modifiche al programma prova()

• aprite la sessione di Program Editor con la seguente successione di tasti: 7 2; scegliete la variabile prova e poi
• 2 (Save Copy As ...)
• assegnate il nuovo nome alla variabile (esempio: prova1)

Aprite la sessione di Program Editor e scegliete la variabile prova1 e poi ;

• modificate il valore finale del ciclo for in 19
• modificate il nome della lista in cui memorizzate la misura dei lati in lista4
• modificate l'output in disp lista4

Verifica e valutazione

Dal momento che la metodologia usata nell'affrontare questa unità didattica è diversa a seconda dei momenti di intervento, tale sarà la verifica:
1. a conclusione del primo momento sarà somministrata una verifica scritta costituita da problemi aperti, la cui valutazione seguirà i criteri programmati in sede di riunione di dipartimento,
2. la valutazione del secondo momento sarà di tipo strettamente formativo, coerentemente agli obiettivi prefissati,
3. la valutazione del lavoro di gruppo costituirà ulteriore elemento per la valutazione finale dell'apprendimento.

Riflessioni finali

Lo svolgimento di questa unità didattica può essere occasione per introdurre il concetto di successione numerica, di classi contigue e per affrontare la definizione di numero reale.

La storia della ricerca del valore di pi greco e delle sue cifre decimali avrà fatto conoscere agli alunni il termine numero trascendente : si può cogliere l'occasione di un approfondimento per affrontare la distinzione tra numeri reali algebrici e numeri reali trascendenti e da questo far riflettere su cosa significhi impossibilità di quadrare il cerchio.

Anna Cristina Mocchetti - Liceo Scientifico "E. Majorana", Rho (Mi)

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