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Algebra

Esercizi svolti

La tariffa dei telefonini

Vediamo un esempio di problema lineare di scelta che risulta di particolare attualità per i nostri studenti, ormai quasi tutti dotati di un oggetto che è diventato un fenomeno di costume e un importante strumento per la socializzazione giovanile: il telefonino.
Questo problema è stato affrontato per caso, a seguito della discussione tra alcuni studenti di una seconda classe di Istituto Tecnico su quale tariffa è più conveniente.

Problema

Un gestore di telefonia mobile A offre ai propri clienti la tariffa di 200 Lit. per ogni minuto di conversazione; c'è il cosiddetto "scatto alla risposta", cioè in pratica le 200 lire vengono addebitate all'inizio di ogni minuto di conversazione; così ad esempio una telefonata di 1 minuto e 10 secondi viene a costare Lit. 400.
Il secondo gestore B offre invece la tariffa di Lit. 5 al secondo senza scatti alla risposta; la stessa telefonata di 1' 10" viene così a costare 70x5 cioé 350 Lit.
Si chiede di modellizzare la situazione con un grafico cartesiano e stabilire, sulla base di esso, quale delle due tariffe è la più conveniente in relazione all'uso che intendiamo fare del nostro telefonino.

Soluzione

Iniziamo con l'osservare che esiste la funzione floor ( x) che fornisce il più grande numero intero che è minore o uguale all'argomento x. Se con x indichiamo la durata della nostra telefonata in secondi, floor ( x /60) fornirà quindi la durata in minuti della telefonata, tralasciando gli eventuali secondi in più. Così, ad esempio, floor (130/60) = 2 poichè 130 secondi sono pari a due minuti e 10 secondi.
Dato però che nella tariffa del gestore A ogni minuto viene conteggiato (e pagato) all'inizio, (quindi ad esempio 130 secondi vengono pagati come tre minuti di conversazione) il modello matematico della tariffa sarà: y = ( floor ( x /60) + 1)* 200, ove y rappresenta la spesa in lire.

Più semplice sarà il modello matematico della seconda tariffa: 5 lire al secondo, quindi y = 5 x.

Procediamo alla definizione delle funzioni nell'apposito ambiente y=Editor.

Definizione del modello
2	Si accede all'ambiente y= Editor. Supponiamo che l'ambiente sia vuoto, cioè che non sia stata definita alcuna funzione; se così non fosse, si consiglia di cancellarle tutte con il comando 8 ( Clear Functions), confermando con.
	Il cursore viene posizionato nella linea di editing.
(Floor(x/60) +1)*200	La prima funzione viene definita e il cursore si posiziona sulla successiva funzione. La funzione Floor può essere direttamente digitata oppure può essere inserita dal menu Math (attivabile con 5), sottomenu 1 ( Number).
5*x	Viene definita anche la seconda funzione.
4	Si passa all'ambiente di grafica. Il grafico ottenuto in scala standard è però quasi illeggibile.
3	Si accede all'ambiente Window Editor. In questo ambiente modificheremo le dimensioni della finestra di visualizzazione. Nel campo xmin digitare 0 (ovviamente non esistono telefonate dalla durata negativa); nel campo xmax digitare 480 (pari a 6 minuti: questo valore appare ragionevole per la durata di una telefonata); nel campo ymin digitare 0 (ovviamente non esistono pagamenti negativi); nel campo ymax digitare 1200. Si passa da un campo all'altro con i tasti cursore.
4	Si torna all'ambiente di grafica con le nuove impostazioni. Si faccia attenzione al fatto che il grafico della prima funzione, quello "a gradini", appare leggermente falsato sullo schermo: in effetti il grafico è formato solo dai segmenti orizzontali e non dalle "battute" degli scalini. Queste appaiono a causa di una caratteristica comune a molti programmi di graficazione di funzioni: i grafici vengono tracciati calcolando le coordinate di alcuni punti e congiungendoli con una spezzata. La cosa compare con più evidenza nelle calcolatrici grafiche a causa della relativamente bassa risoluzione dello schermo. Qui a fianco appare il grafico "vero" della prima funzione.
Ora il grafico appare molto più esplicito: ogni "gradino" corrisponde a un minuto di conversazione. La tariffa più conveniente è quella il cui grafico si trova "più in basso" rispetto a quello dell'altra, dato che l'ordinata rappresenta il costo della telefonata. Si vede immediatamente che, a parte due brevi intervalli di tempo durante il primo e il secondo minuto di conversazione, è sempre più conveniente la tariffa a scatti. Possiamo individuare con precisione tali intervalli: il primo è quello che va da 0 all'ascissa del punto di intersezione tra la retta y = 5 x e la retta y = 200 (primo gradino); il secondo è quello che va da 60 (inizio del secondo minuto di conversazione) all'ascissa del punto di intersezione tra la retta y = 5 x e la retta y = 400 (secondo gradino). Riassumendo: la tariffa del gestore B conviene se si effettuano telefonate che durano da 0 a 40 secondi o da 60 a 80 secondi; in tutti gli altri casi è più conveniente la tariffa del gestore A.
Come appare dal grafico qui a fianco, con la scala ancora modificata, la convenienza del contratto A rispetto al contratto B si fa sempre più accentuata all'aumentare della durata della telefonata.