Cartesio

La didattica con le calcolatrici

Algebra

Esercizi svolti

La distribuzione dei posti barca

Problema

Un circolo nautico ha a disposizione m. 200 di molo per l'attracco delle imbarcazioni.
Ogni natante (gommoni, motoscafi, barche di piccole dimensioni ecc.) necessita di 2 m. di molo, mentre ogni yacht necessita di 6 m. di molo.
La concessione della Capitaneria di porto prevede che vengano ospitate non meno di 50 imbarcazioni, di qualunque tipo, ma per ragioni di sicurezza il numero totale non può superare le 100 unità. Inoltre, per soddisfare le esigenze dei soci del circolo, almeno 40 posti devono essere disponibili per i natanti.
A) Una distribuzione di 50 natanti e 20 yacht è ammissibile? Perché?
B) Sapendo che un posto barca per natante viene affittato a € 400 l'anno, mentre quello per yacht viene affittato a € 1000 l'anno, mostrare che la distribuzione che offre i maggiori introiti al circolo è quella che riserva tutti i posti ai natanti.
C) Quanto dovrebbe essere la tariffa per gli yacht affinché per il circolo sia conveniente il loro ormeggio? Inizieremo con l'impostare un "modello matematico" della situazione descritta nel problema.

Soluzione

Indicando con x in numero dei posti barca riservato ai natanti e con y quello per yacht, i vincoli del problema saranno:

x + y >= 50, x + y <= 100, x >= 40, 2 x +6 y <= 200.

A questi vincoli vanno aggiunti altri due, dato che, ovviamente, non ha senso parlare di... imbarcazioni negative: x >= 0, y >= 0.
La situazione viene quindi descritta dal sistema di disequazioni:

equivalente a

Le soluzioni del sistema sono a loro volta rappresentabili attraverso un "modello geometrico" come descritto nell'Unità Didattica "Ottimizzazione Lineare".
Definiamo le funzioni nell'ambiente Y=Editor:

Si noti che le condizioni x >= 0 e y >= 0 non sono state riportate: per la visualizzazione nello schermo di grafica imposteremo i parametri in modo da mostrare solo il primo quadrante, quindi tali condizioni sono superflue. Si noti anche che la condizione x >= 0 è resa superflua anche dalla più restrittiva condizione x >= 40. Quest'ultima condizione (che graficamente corrisponde a un semipiano delimitato da una retta verticale) viene impostata usando la funzione ver1(x,40) che è descritta nell'Unità Didattica cui si fa riferimento.
Per rappresentare semipiani invece di rette bisognerà poi impostare l'opportuno stile di visualizzazione. Ricordando la nostra convenzione (vedi l'Unità Didattica di riferimento) di tratteggiare i semipiani i cui punti non soddisfano la disequazione, dopo aver premuto ( sulla TI-89) per attivare il menu Style, dovremo impostare i seguenti valori: y1 e y4: Below, y2 e y3: Above.

E' necessario ora impostare i parametri della finestra di visualizzazione premendo 3 per attivare l'ambiente Window Editor inserendo direttamente i valori mostrati nella seguente immagine.

Possiamo finalmente mostrare l'insieme dei valori ammissibili (cioè le soluzioni del sistema di disequazioni) premendo 4 per passare all'ambiente di grafica.

Tale insieme è rappresentato dal quadrilatero "bianco" che appare il figura.
E' facile calcolare (anche manualmente) i vertici del quadrilatero. Si tratta dei punti (50;0), (100;0), (40;20), (40;10).

A) Ora siamo in grado di rispondere al primo quesito: posizionando il cursore in un punto anche solo approssimativamente vicino a quello desiderato (50, 20) e operando un opportuno ingrandimento (ad esempio premendo 2 per attivare il comando ZoomIn), vediamo che il punto in questione è, seppure "di poco", fuori dalla regione ammissimibile.

La lettura del grafico ci dice anche, senza fare calcoli, quale dei vincoli non viene rispettato: si tratta della disequazione corrispondente alla retta di equazione y = -1/3 x + 100/3.

B) Rispondiamo ora al secondo quesito; la funzione obiettivo è:

z = 400 x + 1000 y.

Una proprietà vista nell'Unità di riferimento ci dice che il massimo di tale funzione sottoposta ai vincoli prima indicati è in corripondenza di uno dei vertici del quadrilatero trovato. Vediamo quale. Questa volta agiremo in modo diverso rispetto all'esempio mostrato nell'Unità Didattica di riferimento: dopo essere passati all'ambiente di calcolo Home premendo 1, invece di definire la funzione in due variabili fo(x,y) operiamo una assegnazione locale all'espressione 400 x +1000 y usando il comando | ( with). E' ovvio che i due diversi modi di procedere sono del tutto equivalenti: il Lettore potrà scegliere quello che preferisce.

Per comodità di scrittura prima denominiamo con z l'espressione da valutare:

Procediamo quindi alle assegnazioni locali; l'operatore and può essere digitato direttamente oppure può essere inserito dal menu Math (attivabile premendo 5), sottomenu Test :

La scelta più conveniente per il circolo nautico è quindi quella di destinare tutti i posti disponibili all'ormeggio dei natanti.

C) Passiamo ora all'ultimo quesito.
Indicheremo con t la tariffa di ormeggio per gli yacht.
La funzione obiettivo risulta così dipendente da tale parametro: z = 400 x + t y.
Eseguiamo ancora una volta il calcolo del suo valore nei vertici del quadrilatero ammissibile:

E' inutile calcolare il valore di z nel punto x = 50, y = 0 (dato che certo non potrà dare un valore superiore a 40000) ed è ovvio che, con t >= 0, la distribuzione x = 40 e y = 10 sarà sempre inferiore al valore ottenuto con x = 40 e y = 20.
Si tratta quindi di determinare per quali valori di t l'espressione 20 t + 16000 supera 40000.
Con facilissimi calcoli (anche manuali) otteniamo il risultato t > 1200.

Otteniamo così un risultato che, a pensarci bene, era facilmente prevedibile: dato che uno yacht occupa uno spazio triplo di quello di un natante, perché il suo ormeggio sia conveniente per il circolo, bisogna che renda più del triplo rispetto all'ormeggio di un natante!

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