Cartesio

La didattica con le calcolatrici

Algebra

Domande e risposte - quesiti - FAQ

Polinomio di Taylor

Domanda

Non riesco a svolgere questi esercizi. Datemi qualche suggerimento, vi prego!
1- determinare l'equazione della tangente al grafico della funzione y=cos^2x nel punto di ascissa x0= /4
2- determinare i valori dei parametri a e b affinchè la funzione:

f(x)= sistema [ e^x, per x>=1 [ ax+b, per x<1

risulti continua e derivabile nel punto x=1
Vi ringrazio. Sara

Risposta

(a cura di Sebastiano Cappuccio)

Cara Sara,
non ho capito bene: vuoi risolvere questi esercizi usando una calcolatrice grafica, oppure a mano?
Posso offrirti tutto il supporto che vuoi sull'uso della calcolatrice per risolvere questi esercizi, ma ho bisogno di sapere che modello di calcolatrice usi.
In attesa di una tua risposta, ti mando i più cordiali saluti.
Sebastiano Cappuccio

Risposta di Sara

Ha ragione, mi scusi! Vorrei svolgere l'esercizio con la calcolatrice grafica Texas TI89.
Grazie. Sara

Risposta

(a cura di Sebastiano Cappuccio)

Allora, andiamo in ordine:
1- determinare l'equazione della tangente al grafico della funzione y=cos^2x nel punto di ascissa x0= /4
Prima di tutto penso che la tua funzione sia "coseno al quadrato di x", è così?
Se sì, va digitato: cos(x)^2.
Ci sono molti modi per risolvere il problema.
(N.B. Suppongo di usare la TI-89 con i menu in Inglese)
PRIMO MODO (forse il più semplice):
La retta tangente al grafico delle funzione f(x) nel punto di ascissa x0 è il polinomio di Taylor di f(x) di ordine 1 e di punto iniziale x0.
Quindi basta premere (per selezionare il menu CALC), muovere il cursore in basso e selezionare TAYLOR; poi digitare la funzione desiderata, poi la virgola, poi la variabile in gioco (di solito x), poi l'ordine del polinomio (qui 1) e infine il punto in questione (qui /4); chiudere la parentesi e premere ; NOTA BENE: tutti gli argomenti vanno separati dalla virgola.
In questo caso quindi sarà:
TAYLOR(cos(x)^2,x,1, /4)
Se lo desideri, puoi ordinare il risultato selezionando EXPAND e poi premendo ANS (=L'ULTIMA RISPOSTA DATA): cioè il tasto (quello giallo) seguito dal simbolo (-) (il "meno" grigio in basso). Infine va chiusa la parentesi.
Così facendo si espande la precedente risposta (ANS(1)) e si ottiene:
-x + /4 + 1/2. (ovviamente è sottinteso Y =)
SECONDO MODO (parzialmente manuale):
Useremo la notissima formula: y - y0 = m*(x - x0).
y0 rappresenta il valore della funzione corrispondente a x0.
m rappresenta il cosiddetto "coefficiente angolare" della retta che poi è la derivata della funzione in gioco calcolata nel punto x0. Cominciamo col scrivere la funzione:
cos(x)^2 (sperando che sia proprio quella)
Preleviamo ora la funzione ora digitata evidenziandola con il cursore e premendo (viene così portata nella linea di editing) WITH x = /4
Il tasto WITH è la barra verticale che si trova sulla parte sinistra della tastiera e significa: "calcola l'espressione alla mia sinistra CON x =....".
Otteniamo così 1/2. E questo è y0.
Premere (per accedere al menu CALC) e selezionare DIFFERENTIATE; prelevare la funzione con il tasto cursore come abbiamo fatto prima, poi virgola x e chiusa la parentesi. ATTENZIONE: non premere ancora : otterresti la funzione derivata, cioè la derivata calcolata in un generico x; invece noi la vogliamo in un x0 ben preciso. Premere WITH x= /4
Otteniamo così il coefficiente m: viene -1.
A questo punto sostituisci nella formula: x0= /4, y0=1/2, m = -1 e fa' un pochino di sano calcolo manuale (si può anche fare a macchina ma il gioco non vale la candela) e ottieni la stessa retta di prima.
Secondo problema:
2- determinare i valori dei parametri a e b affinchè la funzione:
f(x)= sistema [ e^x, per x>=1 [ ax+b, per x<1
risulti continua e derivabile nel punto x=1
Questo veramente è un delitto farlo a macchina, vista l'estrema facilità dei calcoli da svolgere.
Affinchè la funzione sia continua nel punto x=1 è necessario che il limite della funzione per x che tende a 1 sia da destra che da sinistra siano uguali.
Per il lim per x che tende a 1 da destra (cioè per x >1) basta calcolare il limite di e^x per x che tende a 1; questo lo puoi anche fare a macchina (F3 Limit....) ma è occio che viene "e".
Per il lim da sinistra (cioè con x <1) basta lavorare con la funzione a*x+b; e viene a + b.
Quindi a + b deve essere uguale ad "e".
Questa è una equazione nelle incognite a e b.
Però la funzione deve anche essere derivabile, cioè le derivate destra e sinistra ancora devono essere uguali. Quindi e^1 deve essere = a.
Risolviamo quindi il sistema: dopo "lunghi e difficili calcoli" otteniamo a = "e" e b = 0.
E la calcolatrice? Prova a tracciare il grafico della funzione con i valori ora trovati dei parametri:
Nell'ambiente Y=Editor digita:
WHEN(x>=1, e^x, e*x)
WHEN può essere digitato direttamente oppure "prelevato" dal CATALOG.
Ti ricordo che "e^x" si ottiene premendo il tasto verde seguito da x, poi x e chiudi la parentesi.
"e" si otterrà quindi come e^1.
Esamina il grafico che ottieni: anche se in modo un po' empirico, hai la ragionevole sicurezza che il risultato ottenuto sia giusto: il grafico non presenta nè discontinuità nè un "punto angoloso" nel punto di ascissa 1 (nè in altri punti, ovviamente): detto in parole povere, le due curve "si raccordano perfettamente" nel punto 1.
Spero di essere stato chiaro.
Cordiali saluti
Sebastiano Cappuccio

© 1997-2004 Cartesio On Line - Tutti i diritti riservati | XHTML 1.0 | CSS/2 | ^ Inizio pagina