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Algebra
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Forma quadratica
Domanda
Non riesco a sviluppare con la Ti-89 questa tipo di forma quadratica. Mi può aiutare?
Per esempio:
Q(x,y,z)= ax"alla 2°" +ay"alla 2°" +z" alla 2°" +12xy +8xz.
p.s. come vede le prime x,y,z sono elevate alla seconda.
Grazie
Cordiali saluti
Marco
Risposta
(a cura di Sebastiano Cappuccio)
Gentile Sig. Marco,
avrei bisogno di conoscere il contesto in cui è posta la sua domanda; in particolare non capisco bene cosa intende per "sviluppare la forma quadratica"; forse trovare la matrice simmetrica relativa ad essa?
Temo quindi di non poterle essere di aiuto. Cordialmente
S.C.
Risposta di Marco
L'esercizio in questione è:
la forma quadratica ax" alla 2°" +ay"alla 2°" +z"alla 2°" +12xy+8xz è definita positiva:
1) per a>0
2) per nessun valore di a
3) per a>18
4) per a>18
La ringrazio
Cordiali saluti
Marco
Risposta
(a cura di Sebastiano Cappuccio)
Caro Sig. Marco,
adesso il discorso è un po' più chiaro. Un noto teorema dice che una forma quadratica è definita positiva [negativa] se e solo se i minori principali di guida della matrice associata sono tutti positivi [negativi].
La matrice associata è la matrice simmetrica che si costruisce così: chiamando le variabili rispettivamente x1, x2, x3, aii è il coefficiante di xi^2 (cioè xi al quadrato) mentre aij è uguale alla metà del coefficiente di xi*xj (con i diverso da j).
Le consiglio di costruirsi una tabellina "a doppia entrata", cioè simile a una tavola pitagorica, con x, y, z in orizzontale e ancora x, y, z in verticale e riempire i 9 spazi agli incroci con i coefficienti della forma quadratica con l'algoritmo prima descritto.
Le ricordo che i "minori principali di guida" di una matrice sono i determinanti delle "sottomatrici" che si trovano all'intersezione rispettivamente di: prima riga e prima colonna; prime due righe e prime due colonne, prime tre righe e prime tre colonne e così via. Nell'esempio da lei proposto la matrice sarà quindi: [a,6,4;6,a,0;4,0,1].
A questo punto si tratta di valutare il segno di tutti i minori principali di guida.
In altre parole il risultato del suo esercizio sarà dato dalle soluzioni del sistema di disequazioni:
a>0
a^2-36>0
a^2-16a-36>0
Le tre disequazioni hanno rispettivamente come soluzioni:
a>0
a<-6 oppure a>6
a<-2 oppure a>18
Gli unici valori di a che verificano contemporanemente le tre disequazioni sono quelli >>18, pertanto la risposta corretta è la terza o la quarta (ci deve essere un errore di stampa nel suo messaggio).
Non esiste nella TI-89 una funzione predefinita per automatizzare la cosa; si potrebbe realizzare un programmino che lo fa, ma per esercizi (e matrici) così facili il gioco non vale la candela.
La TI-89 non è in grado neppure di risolvere sistemi di disequazioni di secondo grado, tuttavia posso insegnarle un "trucco grafico" che potrebbe, almeno in certi casi, essere utile:
Nell'ambiente Y=editor digiti la seguante funzione:
WHEN(x>0 and x^2-36 >0 and x^2-16x-36>0, 4, -4)
Noti che siamo costretti a usare come variabile la "x" invece della "a", ma ciò ovviamente non comporta alcuna differenza. Il grafico di questa funzione sarà la retta orizzontale y=4 in corrispondenza dei valori che verificano il sistema, la retta orizzontale y=-4 in caso contrario.
Ovviamente i valori 4 e -4 sono assolutamente arbitrari e possono essere variati a proprio piacimento.
Selezionando GRAPH ed esplorando il grafico (modificando eventualmente la scala o percorrendolo in modalità TRACE, cioè con il cursore dopo aver premuto) si vede che il sistema viene verificato (retta y=4) proprio per x (cioè "a") maggiore di 18.
Cordiali saluti
Sebastiano Cappuccio
Commenti sull'argomento
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Commento inviato da Massimo gualdiero il 06/07/2004 alle 17:30
Sto studiando un esame di statistica aziendale sugli studi di settore e ho delle difficoltà col calcolo matriciale e e le forme quadratiche.In pratica è un problema di analisi fattoriale preliminare allo svolgimento di una cluster analysis:partendo da una tabella a doppia entrata "casi x variabili" (X)devo trovare un sottospazio dello spazio di riferimento che con la minima perdita di informazioni mi permetta di ridurre il numero di variabili dello spazio originario.Devo cioè massimizzare le proiezioni dei punti (sommatoria ofi)dallo spazio originario(x semplicità supposto a due sole variabili-dimensioni)nel sottospazio incognito a una dimensione
(retta)che mi consenta di farlo.Il sottospazio quindi deve essere tale da minimizzare la differenza tra la distanza dei punti nello spazio originario e la distanza tra i punti proiezione.Individuata(calcolando i punti medi delle variabili mettriche utilizzate) la nuova origine dei sottospazi di riferimento dal centro di gravità della nube dei punti,se kiamo ui e uj gli assi incogniti che la centrano tali assi sono ortogonali (ui.uj=0 x ogni i,j)e ortonormali (uiMui=1 x ogni i)dove M è una matrice simmetrica e definita positiva.La funzione obiettivo x risolvere il problema sarà quindi,x il teorema di pitagora:
Sommatoria(ofi)al quadrato=(Xu)'(Xu)=u'X'Xu=max sotto il vincolo u'Mu=1.Devo trovare u che massimizza questa forma quadratica sotto il vincolo quadratico.Qualcuno mi potrebbe spiegare il significato della funzione da massimizzare?Cosa significano i simboli ' vicino a i vettori? (X'a) per esempio può essere un modo di esprimere il prodotto scalare tra la matrice X e il vettore a o è un prodotto tra una trasposta e un vettore?Spero di essere stato kiaro!
Commento inviato da vincenzo Cardone il 08/07/2008 alle 18:23
per caso studi sul libro di lucev?
ho lo stesso esame il 16 luglio proprio con lucev, sto in crisi.
fammi sapere
